На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Question

Вопрос:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения этой задачи нужно заметить закономерность в построении «змейки». Ломаная состоит из звеньев, длины которых увеличиваются парами. 1. Проанализируем длины звеньев на рисунке (где последнее звено равно 10): - Первое и второе звенья имеют длину 1. - Третье и четвёртое — длину 2. - Пятое и шестое — длину 3. - Седьмое и восьмое — длину 4. - Девятое и десятое — длину 5. - Одиннадцатое и двенадцатое — длину 6. - И так далее. 2. Заметим, что каждое звено с чётным номером $n$ имеет длину $\frac{n}{2}$. Если последнее звено (оно чётное по условию) имеет длину $L$, то его порядковый номер $n = 2 \cdot L$. 3. Длина всей ломаной — это сумма длин всех её звеньев: $S = (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + ... + (L-1 + L-1) + L$ (последнее звено $L$ берётся один раз, так как оно завершает фигуру согласно рисунку). 4. Вычислим сумму для $L = 120$: $S = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + 119) + 120$ 5. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для скобок: $1 + 2 + ... + 119 = \frac{1 + 119}{2} \cdot 119 = 60 \cdot 119 = 7140$ 6. Подставим в общую формулу: $S = 2 \cdot 7140 + 120 = 14280 + 120 = 14400$ **Ответ: 14400**

Ответ ассистента

Другие решения ИИ