Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны AB и AC в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

241. Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, тогда $\angle B = \angle C$. Так как $MN \parallel BC$, то $\angle AMN = \angle B$ и $\angle ANM = \angle C$ (как соответственные углы при параллельных прямых и секущих $AB$ и $AC$). Следовательно, $\angle AMN = \angle ANM$, значит $\triangle AMN$ — равнобедренный. 242. Пусть в $\triangle ABC$ биссектриса $AK$ внешнего угла при вершине $A$ параллельна стороне $BC$. Обозначим внешний угол как $\angle XAC$. Тогда $\angle XAK = \angle KAC$. Так как $AK \parallel BC$, то $\angle XAK = \angle ABC$ (соответственные) и $\angle KAC = \angle ACB$ (накрест лежащие). Отсюда $\angle ABC = \angle ACB$, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный. 243. В $\triangle ABC$ имеем биссектрису $AA_1$, значит $\angle BAA_1 = \angle CAA_1$. Так как $CD \parallel AA_1$, то $\angle CAA_1 = \angle ACD$ (накрест лежащие) и $\angle BAA_1 = \angle ADC$ (соответственные). Таким образом, $\angle ACD = \angle ADC$, следовательно, $\triangle ACD$ — равнобедренный и $AC = AD$. 244. $AD$ — биссектриса $\triangle ABC$, значит $\angle CAD = \angle DAE$. Так как $DE \parallel AC$, то $\angle CAD = \angle ADE$ (накрест лежащие при секущей $AD$). Тогда $\angle DAE = \angle ADE$, следовательно, $\triangle ADE$ — равнобедренный. 245. Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис. В $\triangle MBO$: $\angle MOB = \angle OBC$ (накрест лежащие при $MN \parallel BC$), а так как $BO$ — биссектриса, то $\angle MBO = \angle OBC$. Значит, $\angle MOB = \angle MBO$, и $MB = MO$. Аналогично в $\triangle NOC$: $NC = NO$. Тогда $MN = MO + ON = MB + NC$.