146. В прямоугольном треугольнике DEP (∠P = 90°) провели высоту PK. Найдите гипотенузу DE, если PE = 16 см, KE = 8 см.

### Решение задачи 146 В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два треугольника, подобные исходному. Катет является средним геометрическим между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. 1. В $\triangle DEP$ катет $PE = 16$ см, его проекция на гипотенузу $DE$ — это отрезок $KE = 8$ см. 2. По свойству прямоугольного треугольника: $PE^2 = DE \cdot KE$. 3. Подставим значения: $16^2 = DE \cdot 8 \Rightarrow 256 = DE \cdot 8$. 4. $DE = 256 : 8 = 32$ см. **Ответ: 32 см.** ### Решение задачи 147 1. Рассмотрим $\triangle ABC$: $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$. Тогда $\angle ABC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 2. В прямоугольном $\triangle ABC$ против угла $30^\circ$ лежит катет $AC = 8$ см, значит гипотенуза $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 8 = 16$ см. 3. Рассмотрим $\triangle BAK$: $\angle BAK = 90^\circ$ (по условию). Это прямоугольный треугольник с гипотенузой $BK = 32$ см и катетом $AB = 16$ см. 4. Так как катет $AB$ в два раза меньше гипотенузы $BK$ ($16 = 32 : 2$), то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle AKB = 30^\circ$. **Ответ: 30°.** ### Решение задачи 148 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ, \angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABD = \angle CBD = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. 3. Рассмотрим $\triangle ABD$: $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABD = 30^\circ$. Следовательно, треугольник равнобедренный, и $AD = BD$. 4. Рассмотрим $\triangle BCD$: он прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$) и $\angle CBD = 30^\circ$. Против угла в $30^\circ$ лежит катет $CD$, который равен половине гипотенузы $BD$. То есть $BD = 2 \cdot CD$. 5. По условию $BD + CD = 15$ см. Заменим $BD$ на $2 \cdot CD$: $2 \cdot CD + CD = 15 \Rightarrow 3 \cdot CD = 15 \Rightarrow CD = 5$ см. 6. Тогда $BD = 2 \cdot 5 = 10$ см. Так как $AD = BD$, то $AD = 10$ см. **Ответ: 10 см.**