Решите неравенство (log₂²x - 2log₂x)² + 36log₂x + 45 < 18log₂²x

Для решения логарифмического неравенства воспользуемся методом замены переменной. $(\log_2^2 x - 2\log_2 x)^2 + 36\log_2 x + 45 < 18\log_2^2 x$ 1. **ОДЗ**: $x > 0$. 2. Перенесем все слагаемые в левую часть: $(\log_2^2 x - 2\log_2 x)^2 - 18\log_2^2 x + 36\log_2 x + 45 < 0$ 3. Заметим, что $-18\log_2^2 x + 36\log_2 x = -18(\log_2^2 x - 2\log_2 x)$. Пусть $t = \log_2^2 x - 2\log_2 x$. Тогда неравенство примет вид: $t^2 - 18t + 45 < 0$ 4. Решим квадратное уравнение $t^2 - 18t + 45 = 0$ через дискриминант или по теореме Виета: $D = (-18)^2 - 4 \cdot 45 = 324 - 180 = 144 = 12^2$ $t_1 = \frac{18 - 12}{2} = 3; \quad t_2 = \frac{18 + 12}{2} = 15$ Решение неравенства для $t$: $3 < t < 15$. 5. Вернемся к замене и решим систему: $\begin{cases} \log_2^2 x - 2\log_2 x > 3 \\ \log_2^2 x - 2\log_2 x < 15 \end{cases}$ Пусть $y = \log_2 x$: 1) $y^2 - 2y - 3 > 0 \Rightarrow (y - 3)(y + 1) > 0 \Rightarrow y < -1$ или $y > 3$ 2) $y^2 - 2y - 15 < 0 \Rightarrow (y - 5)(y + 3) < 0 \Rightarrow -3 < y < 5$ 6. Найдем пересечение решений: $y \in (-3; -1) \cup (3; 5)$ 7. Перейдем обратно к $x$: $-3 < \log_2 x < -1 \Rightarrow 2^{-3} < x < 2^{-1} \Rightarrow \frac{1}{8} < x < \frac{1}{2}$ $3 < \log_2 x < 5 \Rightarrow 2^3 < x < 2^5 \Rightarrow 8 < x < 32$ **Ответ: $(\frac{1}{8}; \frac{1}{2}) \cup (8; 32)$**