Решите неравенство: а) x² - 2x - 1 > 0; б) -4x² + 2x - 1/4 ≤ 0; в) -x² + 2x + 2 < 0; г) 2x² + 2x - 1 ≥ 0

Question

Вопрос:

Решите неравенство: а) x² - 2x - 1 > 0; б) -4x² + 2x - 1/4 ≤ 0; в) -x² + 2x + 2 < 0; г) 2x² + 2x - 1 ≥ 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

37.11 Решите неравенство: а) $x^2 - 2x - 1 > 0$ Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ Ветви параболы направлены вверх, выбираем промежутки, где $y > 0$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}; +\infty)$ б) $-4x^2 + 2x - \frac{1}{4} \leqslant 0$ Умножим на $-4$, меняя знак неравенства: $16x^2 - 8x + 1 \geqslant 0$ Заметим формулу квадрата разности: $(4x - 1)^2 \geqslant 0$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. **Ответ:** $x \in \mathbb{R}$ (любое число) в) $-x^2 + 2x + 2 < 0$ Умножим на $-1$: $x^2 - 2x - 2 > 0$ Найдём корни $x^2 - 2x - 2 = 0$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ Ветви параболы направлены вверх, выбираем внешние промежутки. **Ответ:** $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}; +\infty)$ г) $2x^2 + 2x - 1 \geqslant 0$ Найдём корни $2x^2 + 2x - 1 = 0$: $D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$ $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$ Ветви направлены вверх, точки закрашенные. **Ответ:** $x \in (-\infty; \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$

Решите неравенство: а) x² - 2x - 1 &gt; 0; б) -4x² + 2x - 1/4 ≤ 0; в) -x² + 2x + 2 &lt; 0; г) 2x² + 2x - 1 ≥ 0

Ответ ассистента

Другие решения ИИ

Решите неравенство: а) x² - 2x - 1 > 0; б) -4x² + 2x - 1/4 ≤ 0; в) -x² + 2x + 2 < 0; г) 2x² + 2x - 1 ≥ 0