Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a.

Заполним пропуски в решении задачи на нахождение площади равностороннего треугольника: 1. Отрезок $AD$ является высотой треугольника (проведено под прямым углом к основанию). 2. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, значит $\angle B = 60^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AD$, лежащий против угла $B$, равен произведению гипотенузы $AB$ на синус этого угла: $AD = AB \cdot \sin B$. Так как сторона треугольника равна $a$, то $AB = a$. 4. Подставим значения: $AD = a \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. 5. Площадь треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. **Заполненный текст задачи:** Решение. $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AD$, где отрезок $AD$ — **высота** треугольника. В прямоугольном треугольнике $ABD$ гипотенуза $AB$ равна **$a$**, $\angle B = 60^\circ$, $AD$ — **катет**, противолежащий углу $B$. Следовательно, $\sin B = \frac{AD}{AB}$, откуда $AD = AB \cdot \sin B = a \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Итак, $S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. **Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$**.