В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30 градусов.

1. В $\triangle ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. По условию один угол прямой ($90^{\circ}$), а другой равен $30^{\circ}$. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол ($AB < BC < AC$), то: $\angle B = 90^{\circ}$ (напротив самой большой стороны $AC$); $\angle A = 30^{\circ}$ (напротив средней стороны $BC$); $\angle C = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. **Ответ: $30^{\circ}, 90^{\circ}, 60^{\circ}$.** 2. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$: $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: $25^{\circ}, 65^{\circ}$.** 3. В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 70^{\circ}$. Биссектриса $CD$ делит $\angle C$ пополам: $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. Найдем $\angle B$ в $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. **Ответ: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$.** 4. Возможны два случая: 1) Основание меньше боковой стороны на $13$ см. Пусть боковая сторона $x$, тогда основание $x - 13$. $x + x + (x - 13) = 50$ $3x = 63$ $x = 21$ (боковая), основание $21 - 13 = 8$. (Треугольник существует: $21+8 > 21$). 2) Боковая сторона меньше основания на $13$ см. Пусть боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $x + x + (x + 13) = 50$ $3x = 37$ $x = 12\frac{1}{3}$ (боковая), основание $12\frac{1}{3} + 13 = 25\frac{1}{3}$. (Проверка: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$ — такой треугольник не существует). **Ответ: $21$ см, $21$ см, $8$ см.**