Решите уравнения: а) 2 cos² x + sin x + 1 = 0; б) cos² x + 3 sin x = 3; в) 4 cos x = 4 - sin² x; г) 8 sin² x + cos x + 1 = 0.

Для решения этих тригонометрических уравнений воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$ $2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0$ $2 - 2 \sin^2 x + \sin x + 1 = 0$ $-2 \sin^2 x + \sin x + 3 = 0$ | $\cdot (-1)$ $2 \sin^2 x - \sin x - 3 = 0$ Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. Тогда $2t^2 - t - 3 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$ $t_1 = \frac{1 + 5}{4} = 1,5$ (не подходит, т.к. $1,5 > 1$) $t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$ $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$ $1 - \sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$ $-\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$ | $\cdot (-1)$ $\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$ Пусть $\sin x = t$, $|t| \le 1$. Тогда $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 2$ (не подходит, т.к. $2 > 1$). $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$ $4 \cos x = 4 - (1 - \cos^2 x)$ $4 \cos x = 4 - 1 + \cos^2 x$ $\cos^2 x - 4 \cos x + 3 = 0$ Пусть $\cos x = t$, $|t| \le 1$. Тогда $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = 3$ (не подходит, т.к. $3 > 1$). $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$ $8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$ $8 - 8 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0$ $-8 \cos^2 x + \cos x + 9 = 0$ | $\cdot (-1)$ $8 \cos^2 x - \cos x - 9 = 0$ Пусть $\cos x = t$, $|t| \le 1$. Тогда $8t^2 - t - 9 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$ $t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = 1,125$ (не подходит) $t_2 = \frac{1 - 17}{16} = -1$ $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.