Решите задачи по заполнению таблиц углов в треугольнике с высотами и ортоцентром.

Для решения задач на заполнение таблиц используем свойства треугольника (сумма углов равна $180^{\circ}$) и свойства прямоугольных треугольников, образованных высотами. ### Первая таблица (остроугольный треугольник $ABC$, $H$ — ортоцентр) В этом случае $\triangle AA_1C, \triangle BB_1C, \triangle CC_1B$ и другие — прямоугольные. Также $\angle A_1HC = 180^{\circ} - \angle C$, $\angle AHB_1 = 180^{\circ} - \angle A$ (и так далее для смежных и вертикальных углов). 1. Дано: $\angle A=40^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$. $\angle C = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 80^{\circ}$. $\angle AHB_1 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$ (но в таблице $AHB_1$ может означать угол в треугольнике, проверим по смыслу). Обычно $\angle A_1HC = 180^{\circ} - \angle C = 100^{\circ}$. Если $\angle C_1BH = 50^{\circ}$, то это часть $\angle B$, так как $\angle C_1BH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. Это верно. 2. Дано: $\angle AHB_1 = 60^{\circ}, \angle C_1BH = 40^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - \angle AHB_1 = 120^{\circ}$ (если тупоугольный) или $\angle A = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \angle AHB_1)$. Если $\angle C_1BH = 40^{\circ}$, то в $\triangle BCC_1: \angle C = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. ### Вторая таблица (тупоугольный треугольник $ABC$, $H$ — точка пересечения высот вне треугольника) 1. Дано: $\angle B=100^{\circ}, \angle C=40^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 40^{\circ}) = 40^{\circ}$. $\angle B_1BC$ (внешний к $\triangle ABC$): $\angle B_1BC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ (в прямоугольном $\triangle BB_1C$). $\angle BHC$: в четырехугольнике $AB_1HC_1$ сумма углов $360^{\circ}$. $\angle BHC = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$. 2. Дано: $\angle B_1BC = 70^{\circ}, \angle BHC = 50^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - \angle BHC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$ (если $H$ — точка пересечения высот). В $\triangle BB_1C$: $\angle C = 90^{\circ} - \angle B_1BC = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. $\angle B = 180^{\circ} - (130^{\circ} + 20^{\circ}) = 30^{\circ}$. **Ответ:** Для первой строки первой таблицы: $\angle C = 80^{\circ}$. Для первой строки второй таблицы: $\angle A = 40^{\circ}, \angle BHC = 140^{\circ}$.