Решение задач на применение свойств прямоугольного треугольника (карточка Г-7, задачи 1-8).

1) В $\triangle ABC$ ($"\angle C = 90^\circ$): $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BC = AB : 2 = 10 : 2 = 5$. **Ответ: 5.** 2) В $\triangle CDB$ ($\angle D = 90^\circ$): $\angle B = 45^\circ$, значит $\triangle CDB$ — равнобедренный, $CD = DB$. По теореме Пифагора $CB^2 = 8^2 + 8^2 = 128$. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\cos 45^\circ = \frac{CB}{AB} \Rightarrow AB = \frac{CB}{\cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}/2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 16$. **Ответ: 16.** 3) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle A = 30^\circ$, $BC = EC + BE = 7 + 7 = 14$ (т.к. $\triangle ABE$ равнобедренный, $\angle BAE = 90-60-30=0$ — некорректно). Уточнение: в $\triangle BEC$ ($\angle C = 90^\circ$), $\angle B = 60^\circ \Rightarrow \angle EBC = 30^\circ$. $EC = 7 \Rightarrow BE = 14$. В $\triangle ABC$: $BC = AB \cdot \cos 60^\circ \Rightarrow AB = 14 / 0,5 = 28$. $AC = AB \cdot \sin 60^\circ = 14\sqrt{3}$. В $\triangle AEC$: $AE^2 = AC^2 + EC^2 = (14\sqrt{3})^2 + 7^2 = 588 + 49 = 637 \Rightarrow AE = 7\sqrt{13}$. **Ответ: 7\sqrt{13}.** 4) В $\triangle ACD$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = 7, CD = 3,5$. Так как катет в 2 раза меньше гипотенузы ($3,5 = 7/2$), то $\angle CAD = 30^\circ$, тогда $\angle D = 60^\circ$. В $\triangle ABC$: $AB=BC=7$ — треугольник равнобедренный, $\angle B = 180 - 2 \cdot \angle BAC$. Без $\angle BAC$ данных недостаточно. **Допущение:** $\triangle ABD$ равносторонний. Тогда $\angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ$. **Ответ: \angle B = 60^\circ, \angle D = 60^\circ.** 5) Смежный угол $\angle KPC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В $\triangle KPC$ ($\angle C = 90^\circ$): $KC = 9$, лежит против $30^\circ \Rightarrow KP = 18$. $PC = \sqrt{18^2 - 9^2} = 9\sqrt{3}$. В $\triangle KCE$: $\angle KEC = 45^\circ$ (судя по дуге), тогда $CE = KC = 9$. **Ответ: CE = 9, \angle C = 90^\circ.** 6) $\angle ABK = 150^\circ \Rightarrow \angle ABC = 30^\circ$. В $\triangle AA_1B$ ($\angle A_1 = 90^\circ$): $AB = 20, \angle B = 30^\circ \Rightarrow AA_1 = 10$ (катет против $30^\circ$). **Ответ: 10.** 7) В прямоугольном $\triangle ABC$ медиана $CM$ равна половине гипотенузы: $CM = AM = MB$. Значит $\triangle AMC$ — равнобедренный. $\angle MAC = \angle MCA$. $\angle CMA = 180^\circ - (70^\circ \cdot 2)$ — неверно. $\angle BCM = 180 - 70 - 70 = 40^\circ$ (если $BM=MC$). Тогда $\angle MCA = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. **Ответ: 50^\circ.** 8) $\triangle BDC$ равнобедренный ($BD=DC$), $\angle BCD = 25^\circ \Rightarrow \angle DBC = 25^\circ$. Внешний $\angle ADB = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$. В равнобедренном $\triangle ABD$ ($AD=AB$): $\angle A = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ$. **Ответ: \angle A = 80^\circ, \angle ABC = 75^\circ.**