Для решения этих задач воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и тригонометрическими соотношениями.
1) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. $\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 45^\circ$**
2) Треугольник прямоугольный и равнобедренный (отмечены равные катеты). Углы при основании равны. $\alpha = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 45^\circ$**
3) Катеты равны по 7 см. Треугольник прямоугольный равнобедренный. $\alpha = 45^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 45^\circ$**
4) В малом прямоугольном треугольнике один угол $70^\circ$, значит второй острый угол $90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. Весь угол при вершине разделен пополам, значит $\alpha = 20^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 20^\circ$**
5) В большом прямоугольном треугольнике один угол $42^\circ$. Угол $\alpha$ находится в малом прямоугольном треугольнике и равен второму острому углу большого треугольника. $\alpha = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 48^\circ$**
6) Сумма острых углов прямоугольного треугольника $90^\circ$. $\alpha = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 25^\circ$**
7) Катет (7 см) в два раза меньше гипотенузы (14 см). По свойству, такой катет лежит против угла $30^\circ$. Значит, угол против катета 7 см равен $30^\circ$. Тогда $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 60^\circ$**
8) Катет (5 см) в два раза меньше гипотенузы (10 см). Угол $\alpha$ лежит против этого катета. $\alpha = 30^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 30^\circ$**
9) Катет (12 м) в два раза меньше гипотенузы (24 м). Угол $\alpha$ прилежит к этому катету, значит он равен $60^\circ$ (так как противолежащий угол $30^\circ$).
**Ответ: $\alpha = 60^\circ$**
10) Треугольник равнобедренный (боковые стороны по 5 м). Высота делит основание пополам: $2,5 / 2 = 1,25$ м. В прямоугольном треугольнике катет 1,25 м в 4 раза меньше гипотенузы 5 м. Это не табличное значение. Однако, если 2,5 м — это половина основания, то катет 2,5 м в 2 раза меньше гипотенузы 5 м. Тогда $\alpha$ (угол при вершине) равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Если 2,5 м — все основание, то $\cos(\text{угла при осн.}) = 1,25 / 5 = 1/4$, $\alpha = 180 - 2 \cdot \arccos(0,25)$. Примем, что 2,5 м — это катет. Тогда $\alpha = 30^\circ$ (половина угла при вершине).
**Допущение: 2,5 м — это катет прямоугольного треугольника.**
**Ответ: $\alpha = 30^\circ$**
11) Катет 14 см в 2 раза меньше гипотенузы 28 см. Угол против этого катета равен $30^\circ$. $\alpha = 30^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 30^\circ$**
12) Катет 4 м в 2 раза меньше гипотенузы 8 м. Угол $\alpha$ прилежит к этому катету. $\alpha = 60^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 60^\circ$**
13) Пропущено.
14) Треугольник равнобедренный (стороны по 6 см). Угол при вершине $40^\circ$. Смежный с ним угол в прямоугольном треугольнике равен $180^∘ - 40^∘ - 90^∘ = 50^∘$. Угол $\alpha$ в равнобедренном треугольнике равен $(180^∘ - 40^∘) / 2 = 70^∘$.
**Ответ: $\alpha = 70^\circ$**
15) Внешний угол $100^\circ$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В прямоугольном треугольнике это $90^\circ + (90^∘ - \alpha) = 100^∘$, либо $\alpha$ — это часть угла. На рисунке $\alpha$ — острый угол. Смежный с $100^∘$ равен $80^∘$. Тогда $\alpha = 180^∘ - 90^∘ - (180^∘ - 100^∘) = 10^∘$.
**Ответ: $\alpha = 10^\circ$**
16) Высота в равнобедренном треугольнике является биссектрисой. Весь угол при вершине $90^∘$. $\alpha = 90^∘ / 2 = 45^∘$.
**Ответ: $\alpha = 45^\circ$**
17) Треугольник разделен медианой, которая равна половине стороны, к которой проведена. Это свойство прямоугольного треугольника. $\alpha = 90^\circ / 2 = 45^\circ$ (так как малые треугольники равнобедренные и углы равны).
**Ответ: $\alpha = 45^\circ$**
18) Катет 2 м в 2 раза меньше гипотенузы 4 м. Угол против катета 2 м равен $30^∘$. Тогда $\alpha = 180^∘ - 30^∘ = 150^∘$ (как смежный) или если это угол треугольника, то $\alpha = 60^\circ$.
**Ответ: $\alpha = 60^\circ$**
