Контрольная работа по теме «Параллельные прямые, сумма углов треугольника», Вариант 2. Задания 1-5.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Углы при основании: $(180^{\circ} - 52^{\circ}) : 2 = 128^{\circ} : 2 = 64^{\circ}$. **Ответ: 64° и 64°.** 2. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^{\circ}$. Внешний угол при вершине $C$: $180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ}$. **Ответ: 74°.** 3. Прямые $AB$ и $MK$ образуют с секущей $BK$ накрест лежащие углы по $43^{\circ}$, значит $AB \parallel MK$. Аналогично, прямые $CD$ и $EF$ пересечены секущей $CE$. Угол, соответственный углу $105^{\circ}$, будет равен $180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$. Однако по рисунку видно, что прямые $AB$, $CD$ и $MK$, $EF$ лежат на параллельных прямых. Для нахождения угла $C$ недостаточно данных о связи верхних и нижних прямых, если не предполагать их параллельность. Если $AD \parallel MF$, то угол $C$ и угол $105^{\circ}$ — односторонние при параллельных $CD$ и $EF$ и секущей $AD$ (что неверно по чертежу) или накрест лежащие. Судя по рисунку, угол $C$ является накрест лежащим с углом, смежным с $105^{\circ}$. Угол $C = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$ (как внутренние односторонние при $AD \parallel MF$). **Ответ: 75°.** 4. Допущение: в тупоугольном равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, значит основание больше боковой стороны. Пусть боковая сторона $x$ см, тогда основание $x + 17$ см. $x + x + (x + 17) = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ (боковая сторона) Основание: $20 + 17 = 37$ см. Проверка: $20 + 20 > 37$ (неравенство треугольника выполняется). Если бы основание было $x$, а сторона $x + 17$: $x + 2(x + 17) = 77 \Rightarrow 3x = 43 \Rightarrow x = 14\frac{1}{3}$. Тогда стороны $31\frac{1}{3}, 31\frac{1}{3}, 14\frac{1}{3}$. Но в тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит большая сторона (основание), значит первый вариант верный. **Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.** 5. 1) $AK$ — биссектриса $\angle CAE$, значит $\angle CAK = \angle KAE = 78^{\circ} : 2 = 39^{\circ}$. 2) Так как $KN \parallel CA$, то $\angle NKA = \angle CAK = 39^{\circ}$ (накрест лежащие углы). 3) В $\triangle AKN$ сумма углов $180^{\circ}$: $\angle ANK = 180^{\circ} - (\angle KAE + \angle NKA) = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 102^{\circ}$. **Ответ: 39°, 39°, 102°.**