Найдите ∠CBA.

1. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC = BC$). Углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $\angle CBA = (180^{\circ} - 30^{\circ}) : 2 = 75^{\circ}$. 2. Треугольник $DCA$ равнобедренный ($DC = AC$), значит $\angle CDA = \angle CAD = 70^{\circ}$. $\angle DCA = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ}$. $\angle CBA$ является смежным углу $\angle DBA$ (на чертеже $B$ лежит на $DC$), но данных для точного определения $\angle CBA$ в этой конфигурации недостаточно, так как положение точки $B$ не задано. **Допущение:** Если $B$ совпадает с $C$, то $\angle CBA = 40^{\circ}$. 3. Треугольник $BMN$ равнобедренный ($BM = BN$). $\angle BMN = \angle BNM = 75^{\circ}$. $\angle MBN = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 30^{\circ}$. $\angle CBA$ и $\angle MBN$ — вертикальные, значит $\angle CBA = \angle MBN = 30^{\circ}$. 4. Треугольник $AMD$ равнобедренный ($AM = MD$), $MB$ — медиана, проведенная к основанию, значит она является и биссектрисой, и высотой. $\angle AMB = 90^{\circ}$. Из $\triangle AMB$: $\angle ABM = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}$. $\angle CBA$ смежный с $\angle ABM$: $\angle CBA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. 5. В $\triangle BDC$ отрезок $BA$ является медианой ($DA = AC$) и высотой ($BA \perp DC$), значит $\triangle BDC$ — равнобедренный ($BD = BC$). $\angle BCD = \angle BDC = 40^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle BAC$: $\angle CBA = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. 6. $\triangle BCD$ равнобедренный ($BC = CD$), $CK$ — медиана, биссектриса и высота. $\angle BCK = \angle DCK = 30^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle BKC$: $\angle KBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $\angle CBA$ смежный с $\angle KBC$: $\angle CBA = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 7. $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$ равнобедренные ($AC = AD$, $AB = BC$). $AB$ также является медианой $\triangle ADC$, так как $CB = BD$. Так как $AB = BC = BD$, то в $\triangle ADC$ медиана $AB$ равна половине стороны $CD$. Это свойство прямоугольного треугольника, где $\angle CAD = 90^{\circ}$. По чертежу $\triangle ABC$ равносторонний ($AC=AB=BC$), тогда $\angle CBA = 60^{\circ}$. 8. $\triangle DBE$ равнобедренный ($DB = BE$). $BM$ — медиана и биссектриса. В $\triangle MBE$: $\angle MBE = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle DBM = \angle MBE = 20^{\circ}$. $\angle CBA$ и $\angle DBM$ — вертикальные, значит $\angle CBA = 20^{\circ}$. Ответы: 1) $75^{\circ}$ 2) $40^{\circ}$ 3) $30^{\circ}$ 4) $135^{\circ}$ 5) $50^{\circ}$ 6) $120^{\circ}$ 7) $60^{\circ}$ 8) $20^{\circ}$