Контрольная работа «Теорема Пифагора и начала тригонометрии». Вариант 2.

1. По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $NP^2 = MP^2 - MN^2$ $NP^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ $NP = \sqrt{64} = 8$. **Ответ: 8 дм.** 2. Проверим выполнение теоремы Пифагора для сторон 12, 35 и 38: $12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$ $38^2 = 1444$ Так как $1369 \neq 1444$, треугольник не является прямоугольным. **Ответ: нет.** 3. а) По теореме Пифагора: $PQ^2 = QR^2 - PR^2$ $PQ^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $PQ = \sqrt{64} = 8$. **Ответ: 8.** б) Определения тригонометрических функций для угла $Q$: $\sin Q = \frac{PR}{QR} = \frac{6}{10} = 0,6$ $\cos Q = \frac{PQ}{QR} = \frac{8}{10} = 0,8$ $\text{tg} Q = \frac{PR}{PQ} = \frac{6}{8} = 0,75$. **Ответ: 0,6; 0,8; 0,75.** 4. Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где лестница — гипотенуза ($c=5$), а расстояние до стены — катет ($a=3$): $h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ $h = \sqrt{16} = 4$. **Ответ: 4 м.** 5. В равнобедренной трапеции высота $BH$ отсекает на большем основании отрезок $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 6}{2} = 5$. а) Из прямоугольного $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12.** б) $\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}$. **Ответ: 12/13.** **Доказательство:** В прямоугольном $\triangle ABC$ с гипотенузой $AB=c$ и катетами $BC=a, AC=b$: $\sin A = \frac{a}{c}$, $\cos A = \frac{b}{c}$. $\sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, следовательно: $\frac{c^2}{c^2} = 1$. Что и требовалось доказать.