Решите задачи на тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике: заполните пропуски для треугольников ZOS и EFT, найдите синусы углов в треугольнике MZR и тангенсы углов в треугольнике OFT.

1. В прямоугольном треугольнике $ZOS$ с прямым углом $O$ ($∠O = 90^\circ$): а) $\sin \angle S = \frac{ZO}{ZS}$; $\cos \angle S = \frac{OS}{ZS}$; $\tg \angle S = \frac{ZO}{OS}$; $\text{ctg} \angle Z = \frac{ZO}{OS}$. б) Так как $\angle Z + \angle S = 90^\circ$, то $\tg \angle Z = \text{ctg} \angle S$. Тогда $\tg \angle Z \cdot \tg \angle S = \text{ctg} \angle S \cdot \tg \angle S = 1$. в) $\cos \angle Z = \frac{ZO}{ZS}$ и $\sin \angle S = \frac{ZO}{ZS}$, поэтому $\cos \angle Z - \sin \angle S = 0$. 2. В прямоугольном треугольнике $EFT$ ($∠F = 90^\circ$) проведена высота $FR$ к гипотенузе $ET$. Образуются два подобных треугольника: $\triangle ERF$ и $\triangle FRT$. а) $\sin \angle RFT = \frac{RT}{FT}$; $\tg \angle RFE = \frac{ER}{FR}$; $\cos \angle E = \frac{EF}{ET}$ (или $\frac{ER}{EF}$); $\text{ctg} \angle T = \frac{FT}{FO}$ (или $\frac{RT}{FR}$). б) Пары равных острых углов: $\angle E = \angle RFT$ и $\angle T = \angle RFE$. в) Так как $\angle E = \angle RFT$, то $\text{ctg} \angle RFT = \text{ctg} \angle E = 0,86$. 3. В $\triangle MZR$ ($∠R = 90^\circ$): $MR = 80$ см, $ZR = 18$ см. По теореме Пифагора гипотенуза $MZ = \sqrt{MR^2 + ZR^2} = \sqrt{80^2 + 18^2} = \sqrt{6400 + 324} = \sqrt{6724} = 82$ см. $\sin \angle M = \frac{ZR}{MZ} = \frac{18}{82} = \frac{9}{41}$; $\sin \angle Z = \frac{MR}{MZ} = \frac{80}{82} = \frac{40}{41}$. **Ответ: 9/41 и 40/41.** 4. В $\triangle OFT$ ($∠T = 90^\circ$): $OF = 80$ см (гипотенуза), $FT = 64$ см (катет). Найдем катет $OT$ по теореме Пифагора: $OT = \sqrt{OF^2 - FT^2} = \sqrt{80^2 - 64^2} = \sqrt{(80-64)(80+64)} = \sqrt{16 \cdot 144} = 4 \cdot 12 = 48$ см. $\tg \angle O = \frac{FT}{OT} = \frac{64}{48} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$; $\tg \angle F = \frac{OT}{FT} = \frac{48}{64} = \frac{3}{4} = 0,75$. **Ответ: 1 1/3 и 0,75.**