Решите задачи: № 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника. № 2. Найдите градусную меру угла CFN. № 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54? № 4. Докажите, что A=C, если AB||CD и BC||AD. № 5. В треугольнике MNF известно, что M=90, N=60, отрезок AD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

### Решение задач по геометрии **№ 1.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1. Найдём сумму двух углов при основании: $38^{\circ} \times 2 = 76^{\circ}$. 2. Найдём угол при вершине: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$.** **№ 2.** По рисунку 53: прямые $MN$ и $AD$ параллельны (так как накрест лежащие углы при секущей $KC$ не заданы прямо, но обычно в таких задачах это подразумевается по контексту чертежа с секущими). Однако, мы можем найти углы через смежные и вертикальные. 1. Рассмотрим секущую $KC$: $\angle KCD = 44^{\circ}$. Так как $MN \parallel AD$, то накрест лежащий $\angle MKC = \angle KCD = 44^{\circ}$. 2. Угол $CFN$ является внешним для треугольника $KFC$ или смежным с углом $\angle KFC$. Рассмотрим $\angle KFN = 180^{\circ} - 73^{\circ}$ (если $M, F, N$ лежат на одной прямой). **Допущение:** Прямые $MN \parallel AD$. 1. $\angle CFN$ и $\angle FCD$ — накрест лежащие при параллельных $MN, AD$ и секущей $FC$. 2. Значит, $\angle CFN = \angle FCD = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$.** **№ 3.** По рисунку 54 в треугольнике $ABC$: 1. $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 96^{\circ}$. Найдём $\angle C$: $180^{\circ} - (60^{\circ} + 96^{\circ}) = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}$. 2. Рассмотрим точку $C$ на прямой $AF$. Угол $\angle BCF$ — развёрнутый ($180^{\circ}$), но по рисунку $F$ — вершина малого треугольника. 3. Рассмотрим треугольник $CEF$: $\angle ECF = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$ (как смежный). 4. В $\triangle CEF$: $\angle F = 180^{\circ} - (156^{\circ} + 24^{\circ}) = 0^{\circ}$, что невозможно. **Пересмотр рисунка:** Угол $24^{\circ}$ отмечен как $\angle CEF$. 1. В треугольнике $ABC$: $\angle C = 24^{\circ}$. 2. $\angle ECF$ вертикален $\angle ACB$ или смежен? По рисунку $A, C, F$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle ACB$ и $\angle ECF$ не связаны напрямую без дополнительных данных о прямых. 3. Если $\angle E = 24^{\circ}$ и $\angle BCD = \angle ACB = 24^{\circ}$, то в $\triangle CEF$ внешний угол $\angle ACB = \angle E + \angle F$. 4. $24^{\circ} = 24^{\circ} + \angle F \Rightarrow \angle F = 0^{\circ}$. Вероятно, на рисунке опечатка в данных или расположении углов. Если предположить, что $\angle BCF$ — внешний для $\triangle ABC$, то $\angle BCF = 60^{\circ} + 96^{\circ} = 156^{\circ}$. **№ 4.** **Доказательство:** 1. Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (по определению). 2. В параллелограмме противоположные углы равны. 3. Следовательно, $\angle A = \angle C$. **Ч.т.д.** **№ 5.** **Допущение:** В условии опечатка в названиях вершин (AD — биссектриса в треугольнике MNF, хотя вершины D нет в названии). Вероятно, треугольник $MFN$, где $\angle M = 90^{\circ}$, $\angle N = 60^{\circ}$. 1. В $\triangle MFN$: $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2. Пусть $FD$ — биссектриса угла $F$. Тогда $\angle MFD = \angle NFD = 30^{\circ} / 2 = 15^{\circ}$. 3. В прямоугольном $\triangle MDF$: $\cos(15^{\circ}) = MF/FD$, $MN$ нельзя найти напрямую без $MF$. Если $FD$ — гипотенуза в другом треугольнике, данных недостаточно. **Недостаточно данных для решения** №5 (неясно положение точки D и связь FD с MN).