1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). 3. Какова градусная мера угла F, изображенного на рисунке 54? 4. Докажите, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что AB || CD и BC || AD. 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD — биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Углы при основании: $38^{\circ}$ и $38^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. На рис. 53 прямые $MN$ и $AC$ пересечены секущей $KD$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle MKD + \angle KDA = 73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, $MN \parallel AC$ по признаку параллельности. Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$**. 3. Рассмотрим $\triangle ABC$ на рис. 54. Сумма его углов: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$. $60^{\circ} + 36^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \Rightarrow \angle ACB = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Углы $\angle ACB$ и $\angle ECF$ — смежные, их сумма $180^{\circ}$. $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle ECF$. Сумма углов: $\angle ECF + \angle CEF + \angle F = 180^{\circ}$. $96^{\circ} + 24^{\circ} + \angle F = 180^{\circ} \Rightarrow \angle F = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$**. 4. Доказательство: Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. 1) $BD$ — общая сторона. 2) $\angle ABD = \angle CDB$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$. 3) $\angle ADB = \angle CBD$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CDB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $\angle M = 30^{\circ} \Rightarrow \angle MFN = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle NFD$: катет $ND$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. По теореме Пифагора для $\triangle NFD$: $FN = \sqrt{FD^2 - ND^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см. В $\triangle MNF$: $\tan(M) = \frac{FN}{MN} \Rightarrow MN = \frac{FN}{\tan(30^{\circ})} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см. **Ответ: 30 см**.