1. Дано: ∠ B = ∠ C = 90°, AB = CD (Рис. 1). Доказать: ∠ 1 = ∠ 2.

1. **Допущение:** На Рис. 1 изображены два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ с общей гипотенузой $BC$. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$: 1) $\angle B = \angle C = 90^{\circ}$ (по условию); 2) $AB = CD$ (по условию); 3) $BC$ — общая сторона (катет). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по двум катетам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, значит $\angle 1 = \angle 2$. 2. **Решение:** Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведём $OH \perp MN$. Рассмотрим $\triangle MOK$ (где $OK \perp MP$) и $\triangle MOH$: 1) $MO$ — общая гипотенуза; 2) $\angle KMO = \angle HMO$, так как $MO$ — биссектриса угла $M$. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $OH = OK$. Так как $OK = 9$ см, то $OH = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 3. **Алгоритм построения:** 1) Проводим прямую, отмечаем на ней точку $A$. 2) От луча $AB$ откладываем данный острый угол $\alpha$. 3) На второй стороне угла откладываем отрезок $AC$, равный данной гипотенузе. 4) Из точки $C$ опускаем перпендикуляр $CB$ на прямую, содержащую первую сторону угла. $\triangle ABC$ — искомый. 4*. **Алгоритм построения:** $105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}$ или $105^{\circ} = 90^{\circ} + 15^{\circ}$. 1) Построим прямой угол ($90^{\circ}$) с помощью циркуля и линейки (срединный перпендикуляр). 2) От одной из сторон прямого угла построим равносторонний треугольник, чтобы получить угол $60^{\circ}$. 3) Угол между стороной $90^{\circ}$ и $60^{\circ}$ равен $30^{\circ}$. 4) Построим биссектрису этого угла $30^{\circ}$, получим $15^{\circ}$. 5) Искомый угол: $90^{\circ} + 15^{\circ} = 105^{\circ}$.