1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см. 2. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 15:8.

1. По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $c = \sqrt{100} = 10$ см. **Ответ: 10 см.** 2. Пусть стороны $15x$ и $8x$. По теореме Пифагора: $(15x)^2 + (8x)^2 = 34^2$; $225x^2 + 64x^2 = 1156$; $289x^2 = 1156$; $x^2 = 4$; $x = 2$. Стороны: $15 \cdot 2 = 30$ см и $8 \cdot 2 = 16$ см. **Ответ: 30 см и 16 см.** 3. Высота к основанию в равнобедренном треугольнике является медианой. Катет прямоугольного треугольника равен $6 : 2 = 3$ см. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ см. **Ответ: 2\sqrt{10} см.** 4. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 13 см, катет $10 : 2 = 5$ см. Второй катет: $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ см. Вторая диагональ: $12 \cdot 2 = 24$ см. **Ответ: 24 см.** 5. В равнобокой трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии. Из прямоугольного треугольника (диагональ, высота, средняя линия): $m = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. **Ответ: 15 см.** 6. 1) Из первого треугольника найдем высоту (перпендикуляр) к прямой: $h = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ см. 2) Во втором треугольнике высота 20 см лежит против угла $30^{\circ}$, значит гипотенуза (вторая наклонная) в 2 раза больше: $20 \cdot 2 = 40$ см. **Ответ: 40 см.** 7. Найдем второй катет: $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ см. Меньший катет — 5 см, больший — 12 см, гипотенуза — 13 см. 1) Синус угла против меньшего катета: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. 2) Косинус угла прилежащего к большему катету (это тот же угол $\alpha$): $\cos \alpha = \frac{12}{13}$. 3) Тангенс угла против меньшего катета: $\tan \alpha = \frac{5}{12}$. **Ответ: 1) 5/13; 2) 12/13; 3) 5/12.**