Решить задачи, сделав краткие записи в тетрадях.

2. Решить задачи, сделав краткие записи в тетрадях. 1) $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные углы при $a \parallel b$ и секущей $c$. По свойству параллельных прямых $\angle 1 = \angle 2$. Уравнение: $\angle 1 - \angle 2 = 32^{\circ}$. Так как они равны, их разность должна быть $0$. Вероятно, в условии опечатка, и углы являются односторонними или смежными. Если предположить, что они смежные (по рисунку они выглядят как соответственные, но разность $32^{\circ}$ возможна для углов, сумма которых $180^{\circ}$): $\begin{cases} \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \\ \angle 1 - \angle 2 = 32^{\circ} \end{cases} \Rightarrow 2\angle 1 = 212^{\circ} \Rightarrow \angle 1 = 106^{\circ}, \angle 2 = 74^{\circ}$. 2) $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие при $m \parallel n$ и секущей $p$. Значит, $\angle 1 = \angle 2$. Однако дано отношение $3 : 2$. Это возможно, если углы односторонние: $3x + 2x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}$. $\angle 1 = 3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}, \angle 2 = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$. 3) $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные при $k \parallel d$. Значит, $\angle 1 = \angle 2$. Дано $\angle 1 = 2,6 \angle 2$. Это возможно только если $\angle 1 = \angle 2 = 0$, что невозможно. Если углы смежные: $2,6\angle 2 + \angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow 3,6\angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 2 = 50^{\circ}, \angle 1 = 130^{\circ}$. 4) $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные при $a \parallel b$, значит $\angle 1 = \angle 2$. Дано $\angle 2 = \frac{4}{5} \angle 1$. Опять же, это противоречит свойству параллельности для данных углов. Если они односторонние: $\angle 1 + \frac{4}{5}\angle 1 = 180^{\circ} \Rightarrow \frac{9}{5}\angle 1 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 1 = 100^{\circ}, \angle 2 = 80^{\circ}$. 5) $\angle 1$ и $\angle 2$ — накрест лежащие при $m \parallel n$, значит $\angle 1 = \angle 2$. Дано $\angle 1 = 60\% \text{ от } \angle 2$. Если они односторонние: $0,6\angle 2 + \angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow 1,6\angle 2 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 2 = 112,5^{\circ}, \angle 1 = 67,5^{\circ}$. 6) $KP \parallel NM$. $\angle NKP$ и $\angle KNM$ — односторонние при секущей $KN$. $\angle KNM = 180^{\circ} - \angle NKP = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. В треугольнике $\triangle KMN$: $\angle M = 180^{\circ} - (\angle MKN + \angle KNM)$. Недостаточно данных о $\angle MKN$. 7) $AC \parallel BK$. $\angle C$ и $\angle CBK$ — накрест лежащие, $\angle C = \angle CBK$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - \angle C$. Из рисунка $\angle CBK + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ (смежные) $\Rightarrow \angle CBK = 120^{\circ}$, тогда $\angle C = 120^{\circ}$ (невозможно для прямоугольного треугольника). Вероятно, $\angle B$ в треугольнике равен $60^{\circ}$. Тогда $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 8) $KN \parallel ME$. $\angle EMN = \angle PNK = 68^{\circ}$ (как соответственные при секущей $MP$). Ответ: $\angle EMN = 68^{\circ}$. 9) $AD \parallel BE$. $\angle DCB = \angle CBE + \angle CAD$ (по свойству внешнего угла или через параллельность). Проведем прямую через $C$ параллельно $AD$. $\angle DCB = 25^{\circ} + 43^{\circ} = 68^{\circ}$. Ответ: $\angle DCB = 68^{\circ}$.