В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90, AC = 8см, угол ABC = 45. Найти а) AB б) высоту CD, проведенную к гипотенузе

### Вариант 2 **Задача 1** Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 8$ см, $\angle ABC = 45^{\circ}$. $CD \perp AB$. Найти: а) $AB$, б) $CD$. Решение: а) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, то $\angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, $BC = AC = 8$ см. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см. б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота $CD$, проведенная к гипотенузе, является также медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $CD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Ответ: а) $8\sqrt{2}$ см; б) $4\sqrt{2}$ см. --- **Задача 2** Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, $M$ — середина $AC$, $N$ — середина $AB$, $MN = 6$ см, $\angle ANM = 60^{\circ}$. Найти: а) $AB$, $BC$, $AC$, $BM$; б) $S_{AMN}$. Решение: а) $MN$ — средняя линия $\triangle ABC$ (соединяет середины сторон). По свойству средней линии: $MN \parallel BC$ и $BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 6 = 12$ см. Так как $MN \parallel BC$, то $\angle ABC = \angle ANM = 60^{\circ}$ (соответственные углы). В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. $ g 60^{\circ} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см. $\\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{BC}{\cos 60^{\circ}} = \frac{12}{0,5} = 24$ см. $AM = \frac{1}{2} AC = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Из $\triangle BCM$ по теореме Пифагора: $BM = \sqrt{BC^2 + CM^2} = \sqrt{12^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 108} = \sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$ см. б) В $\triangle AMN$: $\angle MAN = 30^{\circ}$, $\angle ANM = 60^{\circ}$, значит $\angle AMN = 90^{\circ}$. $S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$ см$^2$. Ответ: а) $AB=24$ см, $BC=12$ см, $AC=12\sqrt{3}$ см, $BM=6\sqrt{7}$ см; б) $18\sqrt{3}$ см$^2$.