Контрольная работа № 3. Функции и их свойства. Вариант 2.

1. Дана функция $y = 6x - 7$. - При каких значениях аргумента $f(x) = 0, f(x) < 0, f(x) > 0$? $6x - 7 = 0 \Rightarrow 6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$ $6x - 7 < 0 \Rightarrow 6x < 7 \Rightarrow x < 1\frac{1}{6}$ $6x - 7 > 0 \Rightarrow 6x > 7 \Rightarrow x > 1\frac{1}{6}$ - Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните. Функция является возрастающей, так как коэффициент $k = 6$ (число перед $x$) больше нуля. С ростом $x$ значение $y$ увеличивается. 2. Найдите область определения функции: 1) $y = \sqrt{3 - 8x}$ Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - 8x \geq 0 \Rightarrow -8x \geq -3 \Rightarrow x \leq \frac{3}{8}$ Ответ: $D(y) = (-\infty; 0,375]$. 2) $y = \frac{3}{6x^2 - 5x + 1}$ Знаменатель не должен быть равен нулю: $6x^2 - 5x + 1 \neq 0$ $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$ $x_1 = \frac{5 + 1}{12} = 0,5$; $x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$. 3. Постройте график функции $y = -x^2 - 4x + 5$. :::div .chart-container @chart-1::: Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$; $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$. Вершина в $(-2; 9)$. а) Область определения: $x \in \mathbb{R}$. Область значения: $E(y) = (-\infty; 9]$. б) Нули функции: $-x^2 - 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5, x_2 = 1$. в) Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-5; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$. г) Промежутки возрастания и убывания: возрастает на $(-\infty; -2]$, убывает на $[-2; +\infty)$. д) Наименьшего значения нет; наибольшее значение $y = 9$ при $x = -2$. 4. Соотнесите график с формулой: А) Парабола ветвями вниз: $y = -x^2$ (формула 5). Б) «Галочка» (модуль): $y = |x|$ (формула 3). В) Гипербола во II и IV четвертях: $y = -\frac{1}{x}$ (формула 1). Ответ: А-5, Б-3, В-1. 5. (Дополнительное задание) $y = kx$ и $y = x^2 + 4$ имеют одну общую точку. $x^2 + 4 = kx \Rightarrow x^2 - kx + 4 = 0$. Уравнение имеет один корень, если дискриминант $D = 0$. $D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k_1 = 4, k_2 = -4$. Если $k = 4$: $x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$. $y = 4 \cdot 2 = 8$. Точка $(2; 8)$. Если $k = -4$: $x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. $y = -4 \cdot (-2) = 8$. Точка $(-2; 8)$. Ответ: $k = 4$ (точка $(2; 8)$); $k = -4$ (точка $(-2; 8)$).