№1. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 20 м. Из вершины прямого угла C проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника, CD=35 м. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.

### Решение задач **№1.** 1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ м. 2. Проведем высоту $CH$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AB$. Ее длина: $CH = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ м. 3. Отрезок $DH$ — искомое расстояние (по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp AB$). Из $\triangle CDH$: $DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37$ м. **Ответ: 37 м.** **№2.** Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр $h$. Образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $30$ см и катетом (проекцией) $18$ см. $h = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$ см. **Ответ: 24 см.** **№3.** 1. Проверим тип треугольника: $17^2 = 289$; $15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$. Треугольник прямоугольный, гипотенуза $17$. Меньший угол лежит против меньшей стороны ($8$ см), значит вершина $A$ — это вершина прямого угла. 2. Меньшая сторона треугольника — катет длиной $8$ см. Так как $AM \perp (ABC)$ и $AC \perp AB$ (где $AB=8$), то по теореме о трех перпендикулярах расстояние от $M$ до стороны $AB$ — это отрезок $MB$ (если $A$ прилежит к $AB$) или само $AM$, если ищем кратчайшее расстояние до прямой. Но обычно ищется наклонная к вершине. Если $AM=20$, и $AM \perp AB$, то расстояние $MB = \sqrt{20^2 + 8^2} = \sqrt{400 + 64} = \sqrt{464} = 4\sqrt{29}$ см. Однако, если под «расстоянием до стороны» имеется в виду перпендикуляр из $M$ на прямую, содержащую катет, выходящий из $A$, то это само расстояние до другой стороны. Если $A$ — вершина прямого угла, то расстояние до катета $15$ см будет $\sqrt{20^2 + 15^2} = 25$ см, а до катета $8$ см будет $\sqrt{20^2 + 8^2} = 4\sqrt{29}$ см. Меньшая сторона — $8$ см, расстояние до нее $25$ см. **Ответ: 25 см.** **№4.** 1. Точка $P$ равноудалена от сторон, значит ее проекция $O$ — центр вписанной окружности. Радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$ см. 2. Расстояние до сторон $L$ — это гипотенуза в треугольнике с катетами $r$ и $H=2$ см: $L = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ см. **Ответ: 4 см.** **№5.** 1. Четырехугольник с равными сторонами — ромб. $MC$ — перпендикуляр к плоскости, $MD$ — наклонная. $CD$ — проекция наклонной $MD$ на плоскость (так как $C$ и $D$ лежат в плоскости). 2. Из $\triangle MCD$ ($\angle C = 90^\circ$): $CD = \sqrt{MD^2 - MC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{(29-21)(29+21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$ см. 3. Сторона ромба $a = 20$ см. Так как $MD \perp AD$ и $MC \perp (ABCD)$, то по теореме о трех перпендикулярах проекция $CD \perp AD$. Значит, угол ромба $90^\circ$, и это квадрат. 4. $S = a^2 = 20^2 = 400$ см². **Ответ: 400 см².**