Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 4.

№ 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $82^{\circ} \cdot 2 = 164^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 164^{\circ} = 16^{\circ}$ — угол при вершине. **Ответ: $16^{\circ}$**. № 2. Рассмотрим рисунок 59. 1) Найдём $\angle BAC$ и $\angle BCA$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ}$ (смежные). $\angle BCA = 88^{\circ}$ (вертикальный к углу в $88^{\circ}$). 2) Прямые $a$ и $b$ параллельны, если сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ или накрест лежащие углы равны. Проверим углы при секущей $AC$: $\angle BAC = 88^{\circ}$ и $\angle ACD = 88^{\circ}$ (накрест лежащие), значит $a \parallel b$. 3) Так как $a \parallel b$, то соответственные углы при секущей $BM$ равны: $\angle BMF = \angle NBE = 65^{\circ}$. **Ответ: $65^{\circ}$**. № 3. Рассмотрим рисунок 60. 1) В $\triangle ADE$: $\angle AED = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ}$. 2) $\angle CEF = \angle AED = 103^{\circ}$ (вертикальные). 3) В $\triangle CEF$: $\angle CFE = 180^{\circ} - (103^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 157^{\circ} = 23^{\circ}$. Угол $B$ в данном контексте — это $\angle ABC$ или $\angle F$. Если речь об угле при вершине $F$, то ответ $23^{\circ}$. **Ответ: $23^{\circ}$**. № 4. Доказательство (рис. 61): 1) Рассмотрим $\triangle AFN$ и $\triangle MNF$. У них сторона $FN$ — общая. 2) По условию $AN = FM$ и $AN \parallel FM$. 3) При параллельных прямых $AN$ и $FM$ и секущей $FN$ накрест лежащие углы равны: $\angle ANF = \angle MFN$. 4) $\triangle AFN = \triangle MNF$ по двум сторонам и углу между ними (I признак). 5) В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle AFN = \angle MNF$. Что и требовалось доказать. № 5. Решение: 1) В $\triangle ABC$ ($\angle B = 90^{\circ}$): $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2) $CD$ — биссектриса $\angle C$, значит $\angle BCD = \angle ACD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle BCD$ ($\angle B = 90^{\circ}$): так как $\angle BCD = 30^{\circ}$, то гипотенуза $CD = 2 \cdot BD = 2 \cdot 5 = 10$ см (катет против угла $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы). 4) В $\triangle ACD$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ACD = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle ACD$ — равнобедренный, $AD = CD = 10$ см. 5) $AB = AD + BD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см**.