На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.

Question

Вопрос:

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Проведём перпендикуляры $MK$ и $MP$ из точки $M$ к боковым сторонам $AC$ и $BC$ соответственно. По условию $MK = MP$, так как точка $M$ равноудалена от боковых сторон. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BPM$ (где $\angle K = \angle P = 90^\circ$): - $MK = MP$ (по условию); - $\angle A = \angle B$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$). 3. Треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BPM$ равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует, что $AM = BM$. 4. В равнобедренном $\triangle ABC$ отрезок $CM$ соединяет вершину с серединой основания $AB$. Значит, $CM$ — медиана. 5. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, $CM \perp AB$, что и требовалось доказать.

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка M, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что CM — высота треугольника ABC.

Ответ ассистента

Другие решения ИИ