В треугольнике АВС проведена высота АН. Точка Н соединена двумя равными отрезками с серединами М и N сторон АВ и АС. Величина угла АВН равна 38 градусам. Найдите величину угла АNН.

1. Рассмотрим треугольник $ABH$. Так как $AH$ — высота, то $\triangle ABH$ — прямоугольный ($\angle AHB = 90^\circ$). 2. В прямоугольном треугольнике $ABH$ отрезок $HM$ является медианой, проведённой к гипотенузе $AB$ (так как $M$ — середина $AB$). По свойству медианы прямоугольного треугольника, $HM = AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, $\triangle BMH$ — равнобедренный. 3. В условии сказано, что точка $H$ соединена двумя **равными** отрезками с серединами сторон, значит $HM = HN$. 4. Рассмотрим треугольник $ACH$. Он также прямоугольный ($\angle AHC = 90^\circ$), так как $AH$ — высота. Отрезок $HN$ является медианой, проведённой к гипотенузе $AC$. По свойству медианы, $HN = AN = NC = \frac{1}{2}AC$. 5. Из равенства $HM = HN$ и свойств медиан следует: $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC \Rightarrow AB = AC$. Значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. 6. Так как $AB = AC$, то углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = 38^\circ$. 7. В треугольнике $ACH$ (где $\angle AHC = 90^\circ$): $\angle HAC = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$. 8. Так как $AN = HN$ (медиана равна половине гипотенузы), треугольник $ANH$ — равнобедренный с основанием $AH$. Углы при основании равны: $\angle AHN = \angle HAN = 52^\circ$. 9. Сумма углов в $\triangle ANH$ равна $180^\circ$: $\angle ANH = 180^\circ - (\angle HAN + \angle AHN) = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. **Ответ: 76**.