1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ - 25. Найдите другую сторону прямоугольника.

### Вариант 1 **1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника.** **Дано:** $\triangle ABC$ — прямоугольный ($∠C = 90^∘$) $a = 5$ см, $b = 12$ см **Найти:** $c$ **Решение:** По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $c = \sqrt{169} = 13$ (см) **Ответ: 13 см.** --- **2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ - 25. Найдите другую сторону прямоугольника.** **Дано:** $ABCD$ — прямоугольник $AB = 7$, $AC = 25$ **Найти:** $BC$ **Решение:** Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Из $\triangle ABC$ ($∠B = 90^∘$) по теореме Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ $BC = \sqrt{576} = 24$ **Ответ: 24.** --- **3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.** **Дано:** $\triangle ABC$ ($∠C = 90^∘$) $c = 25$ дм, $a = 15$ дм **Найти:** $b$ **Решение:** По теореме Пифагора: $b^2 = c^2 - a^2$ $b^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$ $b = \sqrt{400} = 20$ (дм) **Ответ: 20 дм.** --- **4. Найдите синус, косинус, тангенс углов A и B прямоугольного треугольника ABC, если: а) AC = 4, AB = 5; б) AC = 15, BC = 8; в) BC = 6∑3, AB = 9∑2.** **Решение а):** $AC=4$ (катет $b$), $AB=5$ (гипотенуза $c$). Находим второй катет $a = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. $\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0,6; \cos A = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0,8; \text{tg} A = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0,75.$ $\sin B = \cos A = 0,8; \cos B = \sin A = 0,6; \text{tg} B = \frac{b}{a} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}.$ **Решение б):** $b=15, a=8$. Гипотенуза $c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. $\sin A = \frac{8}{17}; \cos A = \frac{15}{17}; \text{tg} A = \frac{8}{15}.$ $\sin B = \frac{15}{17}; \cos B = \frac{8}{17}; \text{tg} B = \frac{15}{8} = 1,875.$ **Решение в):** $a=6\sqrt{3}, c=9\sqrt{2}$. Катет $b = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 \cdot 2 - 36 \cdot 3} = \sqrt{162 - 108} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$. $\sin A = \frac{6\sqrt{3}}{9\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}; \cos A = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \text{tg} A = \frac{6\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$ $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}; \cos B = \frac{\sqrt{6}}{3}; \text{tg} B = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ --- **5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен B. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b=10, ∠B=45∘; б) b=15, ∠B=60∘; в) b=3∑3, ∠B=30∘.** **Решение а):** Так как $∠B = 45^∘$, то треугольник равнобедренный, $a = b = 10$. Гипотенуза $c = \frac{b}{\sin 45^∘} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 10\sqrt{2}$. **Решение б):** $a = \frac{b}{\text{tg} B} = \frac{15}{\text{tg} 60^∘} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$. Гипотенуза $c = \frac{b}{\sin 60^∘} = \frac{15}{\sqrt{3}/2} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$. **Решение в):** $a = \frac{b}{\text{tg} 30^∘} = \frac{3\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 \cdot 3 = 9$. Гипотенуза $c = \frac{b}{\sin 30^∘} = \frac{3\sqrt{3}}{1/2} = 6\sqrt{3}$.