Через точку D, лежащую на радиусе OA окружности с центром O, проведена хорда BC, перпендикулярная к OA, а через точку B проведена касательная к окружности, пересекающая прямую OA в точке E. Докажите, что луч BA — биссектриса угла CBE

Question

Вопрос:

Через точку D, лежащую на радиусе OA окружности с центром O, проведена хорда BC, перпендикулярная к OA, а через точку B проведена касательная к окружности, пересекающая прямую OA в точке E. Докажите, что луч BA — биссектриса угла CBE

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим $\triangle OBC$. Так как $OB = OC$ (как радиусы), $\triangle OBC$ — равнобедренный. 2. По условию $OA \perp BC$, следовательно, радиус $OA$ (или его часть $OD$) является высотой в равнобедренном $\triangle OBC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, также является биссектрисой, значит $\angle BOA = ∠ COA$. 3. Так как дуги, на которые опираются равные центральные углы, равны, то $\cup AB = \cup AC$. Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны: $\angle ABC = \angle ACB$. 4. Проведём касательную в точке $B$. По свойству касательной, угол между касательной $BE$ и хордой $BA$ равен половине дуги, которую эта хорда стягивает: $\angle EBA = \frac{1}{2} \cup AB$. 5. Угол $\angle CBA$ — вписанный, он опирается на дугу $AC$, значит $\angle CBA = \frac{1}{2} \cup AC$. 6. Так как $\cup AB = \cup AC$, то $\angle EBA = \angle CBA$. 7. Следовательно, луч $BA$ является биссектрисой угла $CBE$.

Ответ ассистента

Другие решения ИИ