Вычислите определенные интегралы: 2. а) интеграл от -2 до 1 (x^2 - x) dx; б) интеграл от -pi/6 до pi/6 6dx/cos^2(2x). 3. а) интеграл от -pi/2 до pi/2 3cos(x) dx; б) интеграл от 0 до 2 (1 - x/2)^4 dx. 4. а) интеграл от 0 до pi/4 3/cos^2(x) dx; б) интеграл от -1 до 4 (1 + x/2)^8 dx. 5. а) интеграл от 1 до 2 (4x^3 + 2x) dx; б) интеграл от 0 до pi 3dx/cos^2(x/2 - pi/3).

Для решения определенных интегралов воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. **2.** а) $\int_{-2}^{1} (x^2 - x) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]_{-2}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (\frac{-8}{3} - \frac{4}{2}) = -\frac{1}{6} - (-\frac{8}{3} - 2) = -\frac{1}{6} + \frac{14}{3} = \frac{-1 + 28}{6} = \frac{27}{6} = 4,5$ Ответ: 4,5 б) $\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{6dx}{\cos^2 2x} = [\frac{6}{2} \text{tg} 2x]_{-\pi/6}^{\pi/6} = [3 \text{tg} 2x]_{-\pi/6}^{\pi/6} = 3 \text{tg}(\frac{\pi}{3}) - 3 \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = 3\sqrt{3} - (-3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$ Ответ: $6\sqrt{3}$ **3.** а) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\cos x dx = [3\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 3\sin(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(-\frac{\pi}{2}) = 3(1) - 3(-1) = 6$ Ответ: 6 б) $\int_{0}^{2} (1 - \frac{x}{2})^4 dx = [\frac{(1 - x/2)^5}{5 \cdot (-1/2)}]_{0}^{2} = [-\frac{2}{5}(1 - \frac{x}{2})^5]_{0}^{2} = -\frac{2}{5}(0)^5 - (-\frac{2}{5}(1)^5) = 0 + 0,4 = 0,4$ Ответ: 0,4 **4.** а) $\int_{0}^{\pi/4} \frac{3dx}{\cos^2 x} = [3\text{tg} x]_{0}^{\pi/4} = 3\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - 3\text{tg}(0) = 3(1) - 0 = 3$ Ответ: 3 б) $\int_{-1}^{4} (1 + \frac{x}{2})^8 dx = [\frac{(1 + x/2)^9}{9 \cdot (1/2)}]_{-1}^{4} = [\frac{2}{9}(1 + \frac{x}{2})^9]_{-1}^{4} = \frac{2}{9}(3^9 - (0,5)^9) = \frac{2}{9}(19683 - \frac{1}{512}) \approx 4374$ Ответ: $\frac{2}{9}(3^9 - 0,5^9)$ **5.** а) $\int_{1}^{2} (4x^3 + 2x) dx = [x^4 + x^2]_{1}^{2} = (16 + 4) - (1 + 1) = 20 - 2 = 18$ Ответ: 18 б) $\int_{0}^{\pi} \frac{3dx}{\cos^2 (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})} = [\frac{3}{1/2} \text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\pi} = [6 \text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\pi} = 6 \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) - 6 \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = 6 \text{tg}(\frac{\pi}{6}) + 6 \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ Ответ: $8\sqrt{3}$