Контрольная работа по алгебре №8. Формулы сокращенного умножения. Вариант 1.

1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: a) $(2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$ б) $(5x - 3y)(5x + 3y) = (5x)^2 - (3y)^2 = 25x^2 - 9y^2$ в) $2a^3(a + 2b)^2 = 2a^3(a^2 + 4ab + 4b^2) = 2a^5 + 8a^4b + 8a^3b^2$ 2. Разложите на множители многочлен: a) $25a^2 - 16 = (5a)^2 - 4^2 = (5a - 4)(5a + 4)$ б) $3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2 + 2x - 1)$ в) $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ 3. Решите уравнение $(5x + 3)^2 - (5x - 1)(5x + 1) = 28x + 4$: $25x^2 + 30x + 9 - (25x^2 - 1) = 28x + 4$ $25x^2 + 30x + 9 - 25x^2 + 1 = 28x + 4$ $30x + 10 = 28x + 4$ $30x - 28x = 4 - 10$ $2x = -6$ $x = -3$ **Ответ: -3** 4. Докажите, что выражение $2x^2 - 4xy + 4y^2$ может принимать только неотрицательные значения: Выделим полный квадрат: $2x^2 - 4xy + 4y^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + x^2 = (x - 2y)^2 + x^2$. Так как квадрат любого числа всегда не меньше нуля, то $(x - 2y)^2 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. 5. Постройте график функции $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} - 3$: Область определения: $x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$. Упростим выражение: $y = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} - 3 = (x + 1) - 3 = x - 2$. Графиком является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-1; -3)$. :::div .chart-container @chart-1::: 6. Докажите, что число $14^4 - 145^2$ кратно 3 и 17: $14^4 - 145^2 = (14^2)^2 - 145^2 = 196^2 - 145^2 = (196 - 145)(196 + 145) = 51 \cdot 341$. Разложим числа: $51 = 3 \cdot 17$. Так как один из множителей (51) делится и на 3, и на 17, то и все произведение кратно 3 и 17.