1. Степенными функциями являются функции вида $y = x^p$, где $p$ — действительное число.
а) $f(x) = x^{0,7}$ — степенная;
б) $g(x) = x^{\frac{1}{2}}$ — степенная;
в) $h(x) = x^4$ — степенная;
г) $t(x) = x^{-0,25}$ — степенная;
д) $s(x) = x^{-5}$ — степенная.
**Ответ: все функции являются степенными.**
2. График функции $f(x) = x^{\frac{1}{k}}$ проходит через точку, если при подстановке координат точки в формулу получается верное равенство.
а) $A(1; 1)$: $1 = 1^{\frac{1}{k}} \Rightarrow 1 = 1$ (верно для любого $k \neq 0$);
б) $B(9; 3)$: $3 = 9^{\frac{1}{k}} \Rightarrow 3 = (3^2)^{\frac{1}{k}} \Rightarrow 3^1 = 3^{\frac{2}{k}} \Rightarrow 1 = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 2$;
в) $C(8; 2)$: $2 = 8^{\frac{1}{k}} \Rightarrow 2 = (2^3)^{\frac{1}{k}} \Rightarrow 2^1 = 2^{\frac{3}{k}} \Rightarrow 1 = \frac{3}{k} \Rightarrow k = 3$;
г) $D(3; 1)$: $1 = 3^{\frac{1}{k}}$. Равенство верно только при $k \to \infty$, что не рассматривается в школьном курсе как стандартный случай, либо точка не лежит на графике при конечном $k$.
3. $64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^2 = 16$.
**Ответ: 16.**
4. $f(4,8)$ и $f(1,3)$, если $f(x) = x^{-0,7}$.
Так как показатель $-0,7 < 0$, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
Поскольку $4,8 > 1,3$, то $f(4,8) < f(1,3)$.
**Ответ: $f(4,8) < f(1,3)$.**
5. $\log_4 \log_2 16 = \log_4 (\log_2 2^4) = \log_4 4 = 1$.
**Ответ: 1.**
6. Подставим $x = 4$ в выражение $\frac{x^{\frac{7}{3}} - \sqrt[3]{x}}{5x^{\frac{2}{3}}}$:
$\frac{x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{5x^{\frac{2}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}(x^2 - 1)}{5x^{\frac{2}{3}}} = \frac{x^2 - 1}{5x^{\frac{1}{3}}}$.
При $x = 4$: $\frac{4^2 - 1}{5 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} = \frac{15}{5 \sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.
7. Сократите дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{3}} - 2a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}}{a - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}} = \frac{(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})^2}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})} = \frac{a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})}$.
8. Функция $y = (3x^2 - 27)^{3,1}$ определена, когда основание степени с дробным (нецелым) показателем больше нуля:
$3x^2 - 27 > 0 \Rightarrow 3(x^2 - 9) > 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) > 0$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
**Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.**
9. $\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[3]{ab^{-\frac{3}{4}}}}{\sqrt[6]{a^5}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{4}{6} - \frac{5}{6}}b^0 = a^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{a}}$.
10. $(\frac{x^2 + y^2}{xy^{0,5} + x^{1,5}} - \frac{x + y}{y^{0,5} + x^{0,5}}) \cdot xy^{-1} = (\frac{x^2 + y^2}{x\sqrt{y} + x\sqrt{x}} - \frac{x + y}{\sqrt{y} + \sqrt{x}}) \cdot \frac{x}{y} =$
$= (\frac{x^2 + y^2 - x(x + y)}{x(\sqrt{y} + \sqrt{x})}) \cdot \frac{x}{y} = \frac{x^2 + y^2 - x^2 - xy}{x(\sqrt{y} + \sqrt{x})} \cdot \frac{x}{y} = \frac{y^2 - xy}{y(\sqrt{y} + \sqrt{x})} = \frac{y(y - x)}{y(\sqrt{y} + \sqrt{x})} = \frac{(\sqrt{y} - \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{x})}{\sqrt{y} + \sqrt{x}} = \sqrt{y} - \sqrt{x}$.
