Дано: ΔABC, AM — биссектриса ∠A, CK — биссектриса ∠C, ∠MOK = 52°. Найти: ∠B

В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Угол между биссектрисами можно найти через сумму углов треугольника. 1. Рассмотрим треугольник $AOC$. В нём угол $\angle AOC$ является вертикальным углу $\angle MOK$. Следовательно, $\angle AOC = \angle MOK = 52^{\circ}$. 2. Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^{\circ}$. Значит, $\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. 3. Так как $AM$ и $CK$ — биссектрисы углов $A$ и $C$, то $\angle OAC = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle OCA = \frac{1}{2} \angle C$. 4. Тогда $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C = 128^{\circ}$. Умножим на 2: $\angle A + \angle C = 256^{\circ}$. 5. В любом треугольнике сумма всех углов ($\angle A + \angle B + \angle C$) равна $180^{\circ}$. Однако в данном условии $\angle A + \angle C$ уже превышает $180^{\circ}$ ($256^{\circ} > 180^{\circ}$). Это означает, что угол $\angle MOK$ не может быть острым углом между биссектрисами в обычном треугольнике, либо он является внешним углом для треугольника $AOC$. Если допустить, что $\angle MOK = 52^{\circ}$ — это смежный угол к углу $\angle AOC$ (т.е. $\angle AOC = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$): 1. $\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$. 2. Тогда $\angle A + \angle C = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$. 3. $\angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$. **Ответ: 76^{\circ}**