Г7 Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 2.

### Решение контрольной работы № 3 (Вариант 2) **№ 1.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол при основании равен $38^{\circ}$, то и второй равен $38^{\circ}$. Сумма всех углов треугольника всегда $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. **№ 2.** Рассмотрим рисунок 53. Прямые $MN$ и $AC$ будут параллельны, если сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ или накрест лежащие углы равны. Проверим углы при секущей $KD$: $\angle MKD = 73^{\circ}$, $\angle ADK = 107^{\circ}$. Сумма $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Значит, $MN \parallel AC$. При параллельных прямых $MN$ и $AC$ накрест лежащие углы при секущей $FC$ равны: $\angle CFN = \angle FCA$. По рисунку $\angle FCA = 44^{\circ}$, следовательно, $\angle CFN = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$**. **№ 3.** Рассмотрим рисунок 54. 1. В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ABC = 36^{\circ}$. 2. Найдём внешний угол $\triangle ABC$ при вершине $C$, который является углом $\triangle ECF$: $\angle BCE = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. Тогда $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$ (смежные). 3. В $\triangle ECF$ известны два угла: $\angle ECF = 96^{\circ}$ и $\angle CEF = 24^{\circ}$. 4. $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$**. **№ 4.** Дано: $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Доказать: $\angle A = \angle C$. Доказательство: 1. Проведём диагональ $BD$. 2. В треугольниках $ABD$ и $CDB$: сторона $BD$ — общая; $\angle ABD = \angle CDB$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $BD$); $\angle ADB = \angle CBD$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). 3. $\triangle ABD = \triangle CDB$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2-й признак равенства треугольников). 4. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. **№ 5.** В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): $\angle M = 60^{\circ} \Rightarrow \angle F = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $AD$ — биссектриса (вероятно, в условии опечатка и имелась в виду биссектриса $MD$), то она делит $\angle M$ пополам: $\angle NMD = \angle DMF = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle MDF$: $\angle DMF = 30^{\circ}$ и $\angle F = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle MDF$ — равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. В прямоугольном $\triangle MND$: $\angle NMD = 30^{\circ}$. Катет $DN$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $DN = MD / 2 = 20 / 2 = 10$ см. По теореме Пифагора для $\triangle MND$: $MN = \sqrt{MD^2 - DN^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см. **Ответ: $10\sqrt{3}$ см**.