Контрольная работа «Векторы». Вариант 1. №1. Даны точки М(2; -1; 3), N(-1; 3; 1). Вычислить расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

1. Найдем координаты середины отрезка $MN$ (точка $K$): $x_K = \frac{2 + (-1)}{2} = 0,5$; $y_K = \frac{-1 + 3}{2} = 1$; $z_K = \frac{3 + 1}{2} = 2$. $K(0,5; 1; 2)$. Расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до $K$: $d = \sqrt{0,5^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0,25 + 1 + 4} = \sqrt{5,25} = \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$. 2. Координаты вектора $\vec{PG} = (5-3; -8-5; -1-(-1)) = (2; -13; 0)$. Координаты вектора $2\vec{PG} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-13); 2 \cdot 0) = (4; -26; 0)$. 3. По правилу сложения векторов: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. Тогда $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$. 4. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{BC}))$. В ромбе $ABCD$ угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен внешнему углу при вершине $B$. Если острый угол $A = 60^{\circ}$, то тупой угол $B = 120^{\circ}$. Угол между направлениями векторов будет $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ (или через смежный угол). $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot 0,5 = 2$. 5. Запишем векторы в координатах: $\vec{a}(-2; 6; 1)$, $\vec{b}(-1; 0; 3)$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot (-1) + 6 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 2 + 0 + 3 = 5$. $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 1^2} = \sqrt{41}$; $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{410}}$. Угол $\alpha = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{410}}\right)$. 6. Пусть $B(x; y; z)$. Вектор $\vec{AB} = (x - 1; y - 4; z - 0)$. Так как $\vec{AB} = \vec{a}(2; -3; 1)$, составим уравнения: $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$; $y - 4 = -3 \Rightarrow y = 1$; $z - 0 = 1 \Rightarrow z = 1$. Координаты точки $B(3; 1; 1)$. **Ответ: 1) $\frac{\sqrt{21}}{2}$; 2) (4; -26; 0); 3) $\vec{AC}$; 4) 2; 5) 5, $\arccos\frac{5}{\sqrt{410}}$; 6) (3; 1; 1).**