1. Рис. 856. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) OB; б) AC : BD; в) SAOC : SBOD.

### I вариант **1. Рис. 856** Дано: $\angle A = \angle B$, $CO = 4$, $DO = 6$, $AO = 5$. Найти: а) $OB$; б) $AC : BD$; в) $S_{AOC} : S_{BOD}$. Решение: В треугольниках $AOC$ и $BOD$: $\angle A = \angle B$ (по условию), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). Значит, $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ по двум углам. Коэффициент подобия $k = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD}$. Из $\frac{4}{6} = \frac{5}{OB} \Rightarrow OB = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7,5$. б) $AC : BD = CO : DO = 4 : 6 = 2 : 3$. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. **Ответ: а) 7,5; б) 2 : 3; в) 4 : 9.** **2.** Дано: $AB = 4, BC = 7, AC = 6$; $MK = 8, MN = 12, KN = 14$; $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}$. Найти углы $\triangle MNK$. Решение: Проверим пропорциональность сторон: $\frac{MK}{AB} = \frac{8}{4} = 2$; $\frac{MN}{AC} = \frac{12}{6} = 2$; $\frac{KN}{BC} = \frac{14}{7} = 2$. Так как стороны пропорциональны, $\triangle MNK \sim \triangle ABC$ по трём сторонам. В подобных треугольниках углы равны против соответствующих сторон: $\angle M = \angle A = 80^{\circ}$ (против сторон $KN$ и $BC$), $\angle K = \angle C = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 60^{\circ}) = 40^{\circ}$ (против сторон $MN$ и $AC$), $\angle N = \angle B = 60^{\circ}$ (против сторон $MK$ и $AB$). **Ответ: 80°, 40°, 60°.** **3.** Дано: $MK \parallel AC$, $BM : AM = 1 : 4$, $P_{ABC} = 25$ см. Найти $P_{BMK}$. Решение: Так как $MK \parallel AC$, то $\triangle BMK \sim \triangle BAC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные). $BM : AM = 1 : 4 \Rightarrow AB = BM + AM = 1x + 4x = 5x$. Тогда $BM : AB = 1 : 5$. Коэффициент подобия $k = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{5}$. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $P_{BMK} = k \cdot P_{ABC} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$ см. **Ответ: 5 см.** **4*.** Дано: $AD = 12, BC = 4$, $S_{AOD} = 45$ см$^2$. Найти $S_{BOC}$. Решение: В трапеции $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам ($\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Отношение площадей: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. $S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5$ см$^2$. **Ответ: 5 см$^2$.**