Задача. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, высота призмы равна 1,5а. Через сторону основания и противоположную вершину другого основания проведено сечение. Найдите: 1. Площадь боковой поверхности призмы. 2. Высоту основания призмы. 3. Угол между плоскостями основания и сечения. 4. Отношение площадей основания и сечения призмы.

1. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Так как в основании лежит правильный треугольник со стороной $a$, то периметр $P_{осн} = 3a$. Высота призмы $h = 1,5a$. $S_{бок} = 3a \cdot 1,5a = 4,5a^2$. 2. Высота основания призмы (высота правильного треугольника) вычисляется по формуле $h_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 3. Пусть $D$ — середина стороны $BC$ (как на рисунке). $AD$ — высота основания, $AD \perp BC$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $A_1D \perp BC$. Угол между плоскостями — это $\angle A_1DA$. В прямоугольном $\triangle A_1AD$: $\tan(\angle A_1DA) = \frac{A_1A}{AD} = \frac{1,5a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{3a}{a\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Значит, $\angle A_1DA = 60^\circ$. 4. Проекцией сечения $A_1BC$ на плоскость основания является само основание $ABC$. По теореме о площади проекции многоугольника: $S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha = 60^\circ$ — угол между плоскостями. Отношение площадей: $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$. **Ответ:** 1. $4,5a^2$; 2. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$; 3. $60^\circ$; 4. $0,5$.