В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2.

1. Рассмотрим свойства биссектрисы в трапеции. Так как $BC \parallel AD$ и $AC$ — секущая, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$. По условию $AC$ — биссектриса $\angle A$, значит, $\angle BAC = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC$. Это означает, что $\triangle ABC$ — равнобедренный, и боковая сторона $AB$ равна меньшему основанию $BC$: $AB = BC = 9\sqrt{2}$. 2. Так как трапеция прямоугольная и $\angle A = 45^\circ$, прямым может быть только угол при вершине $B$ (и $C$, если это меньшее основание). Но в прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Если $AB$ перпендикулярна основаниям, то $\angle A = 90^\circ$, что противоречит условию $\angle A = 45^\circ$. Значит, перпендикулярна боковая сторона $CD$ ($CD \perp AD, CD \perp BC$). 3. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Тогда $BHCD$ — прямоугольник, $BH = CD$. В прямоугольном $\triangle ABH$ $\angle A = 45^\circ$, значит, он равнобедренный: $AH = BH$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow (9\sqrt{2})^2 = 2 \cdot BH^2 \Rightarrow 162 = 2 \cdot BH^2 \Rightarrow BH^2 = 81 \Rightarrow BH = 9$. Следовательно, $CD = BH = 9$ и $AH = 9$. 4. В прямоугольнике $BHCD$ сторона $HD = BC = 9\sqrt{2}$. 5. Рассмотрим прямоугольный $\triangle BCD$. По теореме Пифагора для диагонали $BD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2$. $BD^2 = (9\sqrt{2})^2 + 9^2 = 162 + 81 = 243$. $BD = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$. **Ответ: $9\sqrt{3}$.**