В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE и углом D, равным 102°, проведена высота CH. Найдите ∠DCH. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке K, причем ∠AKN=58°. Найдите ∠ACB.

Question

Вопрос:

В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE и углом D, равным 102°, проведена высота CH. Найдите ∠DCH. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке K, причем ∠AKN=58°. Найдите ∠ACB.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. В равнобедренном треугольнике $CDE$ ($CD=DE$) углы при основании $CE$ равны: $\angle DCE = \angle DEC = (180^\circ - \angle D) : 2 = (180^\circ - 102^\circ) : 2 = 78^\circ : 2 = 39^\circ$. В прямоугольном треугольнике $DCH$ ($\\angle CHD = 90^\circ$): $\angle DCH = 90^\circ - \angle D$ — невозможно, так как $\angle D = 102^\circ$ (тупой угол). Значит, высота $CH$ проведена к продолжению стороны $DE$ вне треугольника. В прямоугольном треугольнике $DCH$ острый $\angle CDH = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$ (смежный с $\angle CDE$). Тогда $\angle DCH = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$. **Ответ: 12°**. 2. Рассмотрим треугольник $AKB$. Угол $AKN$ является внешним для этого треугольника при вершине $K$. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AKN = \angle KAB + \angle KBA = 58^\circ$. Так как $AM$ и $BN$ — биссектрисы, то $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$. Следовательно, $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 58^\circ$, откуда $\angle A + \angle B = 58^\circ \cdot 2 = 116^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle ACB = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. **Ответ: 64°**.

Ответ ассистента

Другие решения