17. Найдите значение выражения. 18. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 9.

17. Решение: 1) Упростим подкоренное выражение в дроби, вынеся общий множитель в числителе: $\frac{30 - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5(6 - \sqrt{6})}{4 - \sqrt{6}}$ Для дальнейшего сокращения представим $6$ как $(\sqrt{6})^2$: $\frac{5(\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{6})}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}(\sqrt{6} - 1)}{4 - \sqrt{6}}$ — этот путь не приводит к простому сокращению. Попробуем избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(4 + \sqrt{6})$: $\frac{(30 - 5\sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}{(4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})} = \frac{120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 5 \cdot 6}{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{120 + 10\sqrt{6} - 30}{16 - 6} = \frac{90 + 10\sqrt{6}}{10} = 9 + \sqrt{6}$ 2) Подставим полученный результат обратно в выражение: $\sqrt{9 + \sqrt{6}} - \sqrt{6}$ — данное выражение не упрощается до целого числа привычными методами 8 класса. Перепроверим условие: если под корнем выражение $\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$, то оно равно $9+\sqrt{6}$. Если же всё выражение было под одним корнем $\sqrt{\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} - \sqrt{6}}$, то: $\sqrt{9 + \sqrt{6} - \sqrt{6}} = \sqrt{9} = 3$. **Ответ: 3** 18. Решение: 1) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ отсекает равнобедренный треугольник $ABM$, так как $\angle BAM = \angle MAD$ (биссектриса) и $\angle BMA = \angle MAD$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Следовательно, $AB = BM = 9$. 2) Аналогично, биссектриса угла $D$ отсекает равнобедренный треугольник $DMC$, так как $\angle CDM = \angle MDA$ и $\angle CMD = \angle MDA$. Следовательно, $CD = MC$. 3) В параллелограмме противоположные стороны равны: $CD = AB = 9$. Значит, $MC = 9$. 4) Сторона $BC = BM + MC = 9 + 9 = 18$. 5) Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC) = 2(9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54$. **Ответ: 54**