Периметр прямоугольного ΔKPL равен 42 см, PK = PL, PM — медиана, равная 9 см. Выясните вид четырехугольника CMAP и рассчитайте его периметр.

1. Рассмотрим $\triangle KPL$. Так как $\angle P = 90^{\circ}$ (по чертежу) и $PK = PL$, треугольник является равнобедренным прямоугольным. Углы при гипотенузе $\angle K = \angle L = 45^{\circ}$. 2. $PM$ — медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине: $PM = KM = ML = 9$. Значит, гипотенуза $KL = 18$ см. 3. Из периметра $\triangle KPL$ найдем катеты: $PK + PL + KL = 42 \Rightarrow 2 \cdot PK + 18 = 42 \Rightarrow 2 \cdot PK = 24 \Rightarrow PK = PL = 12$ см. 4. В $\triangle KPL$ медиана $PM$ в равнобедренном треугольнике также является биссектрисой и высотой. Значит, $\angle KPM = \angle MPL = 45^{\circ}$ и $PM \perp KL$. 5. По чертежу $MC \perp PK$ и $MA \perp PL$. В четырехугольнике $CMAP$ три угла прямые ($\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 90^{\circ}, \angle P = 90^{\circ}$), следовательно, $CMAP$ — прямоугольник. 6. В $\triangle PMA$ угол $\angle MPA = 45^{\circ}$, $\angle PAM = 90^{\circ}$, значит $\angle PMA = 45^{\circ}$. Следовательно, $\triangle PMA$ равнобедренный, $PA = AM$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Вид четырехугольника $CMAP$ — квадрат. 7. Стороны квадрата $PA$ и $AM$ являются средними линиями $\triangle KPL$ (так как $M$ — середина гипотенузы, а $MC$ и $MA$ перпендикулярны катетам, то есть параллельны им). $PA = PL / 2 = 12 / 2 = 6$ см. 8. Периметр квадрата $CMAP = 4 \cdot PA = 4 \cdot 6 = 24$ см. Ответ: квадрат; 24 см.