Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равны 3, 4 и sqrt(11). Его диагональ DB_1 проходит через точку N сечения D_1AC. Найдите длину отрезка ND.

Question

Вопрос:

Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равны 3, 4 и sqrt(11). Его диагональ DB_1 проходит через точку N сечения D_1AC. Найдите длину отрезка ND.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер: $DA$ по оси $Ox$, $DC$ по оси $Oy$ и $DD_1$ по оси $Oz$. 1. Определим координаты вершин согласно измерениям ($3, 4, \sqrt{11}$): $D(0; 0; 0)$ $A(3; 0; 0)$ $C(0; 4; 0)$ $D_1(0; 0; \sqrt{11})$ $B_1(3; 4; \sqrt{11})$ 2. Составим уравнение плоскости сечения $D_1AC$. Используем уравнение плоскости в отрезках: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{\sqrt{11}} = 1$ 3. Составим параметрическое уравнение прямой $DB_1$. Так как прямая проходит через начало координат $D(0,0,0)$ и точку $B_1(3, 4, \sqrt{11})$, её уравнение: $x = 3t, y = 4t, z = \sqrt{11}t$ 4. Найдем точку $N$ — пересечение прямой $DB_1$ и плоскости $D_1AC$, подставив координаты прямой в уравнение плоскости: $\frac{3t}{3} + \frac{4t}{4} + \frac{\sqrt{11}t}{\sqrt{11}} = 1$ $t + t + t = 1$ $3t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ 5. Найдем координаты точки $N$: $x_N = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1, y_N = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, z_N = \sqrt{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{11}}{3}$ 6. Найдем длину отрезка $ND$ (расстояние от начала координат до точки $N$): $ND = \sqrt{x_N^2 + y_N^2 + z_N^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{\sqrt{11}}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{16}{9} + \frac{11}{9}} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 11}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2$ **Ответ: 2.**

Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равны 3, 4 и sqrt(11). Его диагональ DB_1 проходит через точку N сечения D_1AC. Найдите длину отрезка ND.

Ответ ассистента

Другие решения