Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: а) (a-6)·(a+6)+(a-6)²+10a

1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: а) $(a-6)(a+6) + (a-6)^2 + 10a = a^2 - 36 + a^2 - 12a + 36 + 10a = 2a^2 - 2a$ б) $4m^3 - 4(m+2)(4 - 2m + m^2) = 4m^3 - 4(m^3 + 2^3) = 4m^3 - 4(m^3 + 8) = 4m^3 - 4m^3 - 32 = -32$ 2. Разложите следующие многочлены на множители: а) $3xy - 9x + 4y - 12 = 3x(y - 3) + 4(y - 3) = (y - 3)(3x + 4)$ б) $4a^2 + 8ay + 4y^2 = 4(a^2 + 2ay + y^2) = 4(a + y)^2$ 3. Используя формулы сокращённого умножения, докажите тождество $(a-b)(a^2-b^2) = (a+b)(a-b)^2$: Левая часть: $(a-b)(a^2-b^2) = (a-b)(a-b)(a+b) = (a-b)^2(a+b)$ Правая часть: $(a+b)(a-b)^2$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. 4. Найдите корни уравнения $(5x-8)^2 - (5x+3)^2 = 0$: Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$: $((5x-8) - (5x+3))((5x-8) + (5x+3)) = 0$ $(5x - 8 - 5x - 3)(5x - 8 + 5x + 3) = 0$ $-11 \cdot (10x - 5) = 0$ $10x - 5 = 0$ $10x = 5$ $x = 0,5$ Ответ: 0,5. 5. Можно ли утверждать, что при любых значениях $x$ выражение $x^2 - 16x + 80$ принимает положительные значения? Выделим полный квадрат: $x^2 - 16x + 80 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 64 + 16 = (x - 8)^2 + 16$ Так как $(x - 8)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x - 8)^2 + 16 \ge 16$. Значит, выражение всегда принимает только положительные значения. Ответ: Да.