Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Question

Вопрос:

Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCM$. По условию середина отрезка $BM$ совпадает с серединой стороны $AC$. Если в четырёхугольнике диагонали ($BM$ и $AC$) точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $ABCM$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AM \parallel BC$ и $AM = BC$. 2. Рассмотрим четырёхугольник $ACBN$. По условию середина отрезка $CN$ совпадает с серединой стороны $AB$. Аналогично, так как диагонали $CN$ и $AB$ делятся точкой пересечения пополам, $ACBN$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AN \parallel BC$ и $AN = BC$. 3. Мы получили, что прямые $AM$ и $AN$ обе параллельны одной и той же прямой $BC$. По аксиоме параллельных прямых (через точку $A$, не лежащую на прямой $BC$, можно провести только одну прямую, параллельную $BC$), точки $M$, $A$ и $N$ лежат на одной прямой. 4. Дополнительно заметим, что так как $AM = BC$ и $AN = BC$, то $AM = AN$, то есть точка $A$ является серединой отрезка $MN$.

Ответ ассистента

Другие решения