Разложите на множители; Докажите, что разность между квадратом нечётного числа и единицей делится на 8; Докажите, что разность a³ - a кратна 6.

б) $(x + 3y)^2 - y^2 + 2xy - x^2 = (x + 3y)^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = (x + 3y)^2 - (x - y)^2 = (x + 3y - (x - y))(x + 3y + (x - y)) = (x + 3y - x + y)(x + 3y + x - y) = 4y(2x + 2y) = 8y(x + y)$ в) $(a - b)^2 - (c + d)^2 - a + b - c - d = (a - b - (c + d))(a - b + c + d) - (a - b) - (c + d) = (a - b - c - d)(a - b + c + d) - (a - b + c + d) = (a - b + c + d)(a - b - c - d - 1)$ г) $a^4 + b^4 + 2a^3b + 2a^2b^2 + 2ab^3 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + 2a^3b + 2ab^3 = (a^2 + b^2)^2 + 2ab(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + 2ab) = (a^2 + b^2)(a + b)^2$ 12. **Доказательство:** Пусть нечётное число имеет вид $2n + 1$, где $n$ — целое число. Разность между его квадратом и единицей: $(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n + 1)$. Числа $n$ и $n + 1$ являются последовательными целыми числами, значит, одно из них обязательно чётно (делится на 2). Следовательно, произведение $n(n + 1)$ делится на 2. Тогда выражение $4 \cdot n(n + 1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$. Что и требовалось доказать. 13. **Доказательство:** Разложим выражение на множители: $a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) = (a - 1)a(a + 1)$. Это произведение трёх последовательных натуральных чисел. 1) Среди трёх последовательных чисел хотя бы одно кратно 2. 2) Среди трёх последовательных чисел ровно одно кратно 3. Так как число делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$. Что и требовалось доказать. 14. **Разложите на множители:** а) $a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9)$ б) $16x^2 - y^2 = (4x - y)(4x + y)$ в) $(x + 3y)^2 - (x - 3y)^2 = (x + 3y - (x - 3y))(x + 3y + x - 3y) = (x + 3y - x + 3y)(2x) = 6y \cdot 2x = 12xy$