Вопросы для самопроверки 1. Что называется определителем второго и третьего порядка. 2. Назовите основные свойства определителей.

1. **Определитель второго порядка** — это число, вычисляемое для квадратной матрицы $2 \times 2$ по правилу: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали: $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$. **Определитель третьего порядка** — число для матрицы $3 \times 3$, вычисляемое, например, по правилу треугольников или разложением по строке/столбцу. 2. **Основные свойства определителей**: - При транспонировании матрицы её определитель не меняется. - При перестановке двух строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный. - Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. - Общий множитель строки можно выносить за знак определителя. - Если к строке прибавить другую строку, умноженную на число, определитель не изменится. 3. **Минором** элемента $a_{ij}$ называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца. **Алгебраическим дополнением** $A_{ij}$ называется минор, взятый со знаком $(-1)^{i+j}$. 4. **Формулы Крамера**: $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta$ — основной определитель системы, $\Delta_i$ — определитель, полученный заменой $i$-го столбца столбцом свободных членов. Используются, когда система квадратная (число уравнений равно числу переменных) и $\Delta \neq 0$. 5. **Схема метода Гаусса**: систему приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований (прямой ход), а затем последовательно находят переменные, начиная с последних (обратный ход). 6. **Матрица** — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов. 7. **Действия над матрицами**: - Сложение: поэлементное (для матриц одинакового размера). - Умножение на число: каждый элемент умножается на это число. - Умножение матриц: элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений элементов $i$-й строки первой матрицы на соответствующие элементы $j$-го столбца второй (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй). 8. **Обратной матрицей** $A^{-1}$ называется такая матрица, что $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E$ (где $E$ — единичная матрица). Находится по формуле $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \text{adj}(A)$, где $\text{adj}(A)$ — присоединенная матрица из алгебраических дополнений. 9. **Рангом матрицы** называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Находят методом элементарных преобразований (приведением к ступенчатому виду) или методом окаймляющих миноров. 10. **Теорема Кронекера-Капелли**: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы ($rg A = rg \overline{A}$). 11. **Матричный способ**: систему $AX = B$ решают через обратную матрицу: $X = A^{-1}B$, если $\det A \neq 0$. 12. **Суть метода Гаусса**: исключение неизвестных для преобразования системы в эквивалентную ей систему с треугольной или ступенчатой матрицей. 13. **Геометрическая интерпретация**: каждое уравнение системы $n=2$ — это прямая на плоскости, $n=3$ — плоскость в пространстве. Решение системы — это точка (или множество точек) пересечения этих геометрических объектов. Неравенства задают полуплоскости или полупространства.