Домашняя контрольная работа по геометрии. Уровень А: задачи на площадь поверхности пирамиды, боковое ребро призмы и диагональ параллелепипеда.

### Решение заданий уровня А **1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$. Двугранные углы при основании равны $\alpha$. Найти полную поверхность пирамиды.** 1) Площадь основания (квадрат): $S_{осн} = a^2$. 2) В правильной пирамиде площадь боковой поверхности связана с площадью основания и углом наклона боковых граней (двугранным углом при основании) формулой: $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha} = \frac{a^2}{\cos \alpha}$. 3) Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + \frac{a^2}{\cos \alpha} = a^2 \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)$. **Ответ:** $a^2 \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)$. --- **2. В основании прямой треугольной призмы — прямоугольный треугольник с катетами $8\,см$ и $6\,см$. Найти боковое ребро призмы, если её боковая поверхность $120\,см^2$.** 1) Найдём гипотенузу основания по теореме Пифагора: $c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\,см$. 2) Найдём периметр основания: $P = 8 + 6 + 10 = 24\,см$. 3) Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P \cdot h$, где $h$ — боковое ребро. $h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{120}{24} = 5\,см$. **Ответ: 5 см.** --- **3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $3\,см$ и $5\,см$, угол между ними равен $60^{\circ}$. Большая диагональ параллелепипеда равна $10\,см$. Найти боковое ребро параллелепипеда.** 1) В основании параллелограмм. Найдём его диагонали по теореме косинусов. Большая диагональ основания $d_{осн}$ лежит против тупого угла ($180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$): $d_{осн}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^{\circ}) = 9 + 25 - 30 \cdot (-0,5) = 34 + 15 = 49$. $d_{осн} = 7\,см$. 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю параллелепипеда $D=10$, большой диагональю основания $d_{осн}=7$ и боковым ребром $h$: $h^2 = D^2 - d_{осн}^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51$. $h = \sqrt{51}\,см$. **Ответ:** $\sqrt{51}\,см$.