Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, MT = QK (рис. 6). 1) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный. 2) Найдите ∠3, если ∠2 + ∠1 - ∠4 = 30°.

1) Пусть $NH$ — высота треугольника $MNK$, опущенная на сторону $MK$. По условию $NH$ также является медианой треугольника $TNQ$. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $TQ$, то есть $TH = HQ$. Так как $NH$ является и высотой, и медианой в треугольнике $TNQ$, то этот треугольник равнобедренный ($TN = NQ$). Из рисунка видно, что $MH = MT + TH$ и $HK = HQ + QK$. По условию $MT = QK$, а выше мы установили, что $TH = HQ$. Следовательно, $MH = HK$, то есть $NH$ является медианой и для треугольника $MNK$. Так как в треугольнике $MNK$ высота $NH$ совпадает с медианой, то $\triangle MNK$ — равнобедренный ($MN = NK$). 2) Рассмотрим углы при основании $MK$. Так как $\triangle MNK$ равнобедренный, $\angle M = \angle K$. Также $\triangle TNQ$ равнобедренный, значит $\angle NTQ = \angle NQT$. Смежные углы к ним также равны: $\angle 1 = \angle 2$. Тогда выражение $\angle 2 + \angle 1 - \angle 4 = 30^{\circ}$ можно переписать как $2 \cdot \angle 1 - \angle 4 = 30^{\circ}$. По свойству смежных углов: $\angle 3 + \angle 1 = 180^{\circ}$ и $\angle 4 + \angle 2 = 180^{\circ}$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle 3 = \angle 4$. Подставим $\angle 4 = \angle 3$ в уравнение: $\angle 2 + \angle 1 - \angle 3 = 30^{\circ}$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, имеем $2 \cdot \angle 1 - \angle 3 = 30^{\circ}$. Заменим $\angle 1$ на $180^{\circ} - \angle 3$: $2(180^{\circ} - \angle 3) - \angle 3 = 30^{\circ}$ $360^{\circ} - 2 \cdot \angle 3 - \angle 3 = 30^{\circ}$ $3 \cdot \angle 3 = 330^{\circ}$ $\angle 3 = 110^{\circ}$. **Ответ: 110°**.