Докажите тождество: tg² α - sin² α = tg² α sin² α

Question

Вопрос:

Докажите тождество: tg² α - sin² α = tg² α sin² α

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства тождества $\text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$ преобразуем левую часть выражения: 1. Распишем тангенс через синус и косинус: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$. 2. Приведем к общему знаменателю: $\frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$. 3. Вынесем $\sin^2 \alpha$ за скобки в числителе: $\frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\cos^2 \alpha}$. 4. Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$: $\frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$. 5. Заметим, что $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha$, тогда: $\text{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$. Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Докажите тождество: tg² α - sin² α = tg² α sin² α

Ответ ассистента

Другие решения