В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Question

Вопрос:

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

а) Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника верна формула: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Выразим сумму катетов: $a + b = 2r + c$. Периметр $P = a + b + c = (2r + c) + c = 2r + 2c$. Подставим значения: $P = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 26 = 8 + 52 = 60$ см. **Ответ: 60 см.** б) Отрезки гипотенузы от углов до точки касания равны соответствующим отрезкам катетов от тех же углов до точек касания (по свойству касательных из одной точки). Пусть точка касания делит гипотенузу на $x = 5$ см и $y = 12$ см. Тогда гипотенуза $c = x + y = 5 + 12 = 17$ см. Катеты равны $a = x + r$ и $b = y + r$. По теореме Пифагора: $(x + r)^2 + (y + r)^2 = (x + y)^2$ $(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2$ $25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289$ $2r^2 + 34r - 120 = 0$ $r^2 + 17r - 60 = 0$ $D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2$ $r = \frac{-17 + 23}{2} = 3$ (отрицательный корень не подходит). Периметр $P = 2r + 2c = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 17 = 6 + 34 = 40$ см. **Ответ: 40 см.**

Ответ ассистента

Другие решения