Решите задачи на тему скалярное произведение векторов (задания 1-10).

1. Скалярное произведение векторов: $\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos(\alpha)$. $\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Ответ: $5\sqrt{2}$. 2. Скалярное произведение через координаты: $\vec{k} \cdot \vec{l} = x_k \cdot x_l + y_k \cdot y_l$. $\vec{k} \cdot \vec{l} = (-5) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -10 + 1 = -9$. Ответ: -9. 3. Косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| \cdot |\vec{y}|}$. $\vec{x} \cdot \vec{y} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2$. $|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$; $|\vec{y}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$. $\cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$. 4. Условие перпендикулярности: $\vec{r} \cdot \vec{s} = 0$. $\vec{r} \cdot \vec{s} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0$. Ответ: Векторы перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно 0. 5. Найдем координаты векторов сторон: $\vec{AB}(0; 2)$, $\vec{BC}(2; -2)$, $\vec{AC}(2; 0)$. $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = -4 < 0$ (тупой угол); $\vec{BC} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 4 > 0$ (острый угол); $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0$ (прямой угол). Ответ: Прямоугольный (угол A — прямой). 6. Найдем векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\vec{BA}(-3; -4)$, $\vec{BC}(3; -4)$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 3 + (-4) \cdot (-4) = -9 + 16 = 7$. $|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5$; $|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$. $\cos(\angle B) = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25} = 0,28$. Ответ: 0,28. 7. $\cos(\alpha) = \frac{(-3) \cdot 4 + (-4) \cdot 3}{\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{-12 - 12}{5 \cdot 5} = -\frac{24}{25} = -0,96$. Ответ: -0,96. 8. Векторы: $\vec{AB}(0; 3)$, $\vec{AC}(2; 2)$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 6$. $|\vec{AB}| = 3$; $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\cos(\angle A) = \frac{6}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$. 9. Координаты вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$: $x = 2 + 3 \cdot 1 = 5$; $y = 0 + 3 \cdot 4 = 12$. Длина $|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Ответ: 13. 10. Сначала найдем $\vec{b} \cdot \vec{c}$: $\vec{b} \cdot \vec{c} = (-6) \cdot 10 + 0 \cdot (-2) = -60$. Затем умножим вектор $\vec{a}$ на число -60: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = (1 \cdot (-60); 9 \cdot (-60)) = (-60; -540)$. Ответ: (-60; -540).